Игры с седловой точкой

• Игра называется игрой с седловой точкой, если ее нижняя и верхняя цены совпадают.

• Для игры с седловой точкой общее значение нижней и верхней цены игры называется ценой игры.

V = α = β

.

• Элемент платежной матрицы называется седловой точкой.

Игры без седловой точки

Пример 4.

Найти нижнюю и верхнюю цены игры с платежной матрицей

Решение.

Нижняя цена игры α = max{-1, 2, -2,1}= 2 .

Верхняя цена игры β = min5, 4, 54.

• нижняя цена игры отличается от верхней цены игры, следовательно, игра является игрой без седловой точки. Максиминной стратегией является стратегия A₂ . Минимаксной стратегией является стратегия B₂.

• Для любой игры без седловой точки выполнено неравенство α < β .

Ситуации равновесия

Пусть дана игра; говорят, что ситуация (т. е. n-набор стратегий) равновесна, или что она является ситуацией равновесия, если для любого i = 1, ..., n и для любого ; имеет место неравенство

Другими словами, ситуация равновесна, если ни один игрок не имеет никаких разумных оснований для изменения своей стратегии при условии, что все остальные игроки собираются придерживаться своих стратегий. В этом случае, если каждый игрок знает, как будут играть остальные, он имеет основание придерживаться той стратегии, которая соответствует этой ситуации равновесия; тем самым игра становится весьма устойчивой.

Пример 5.

Для игры в нормальной форме

как (α₁, β₁), так и (α₂, β₂) являются ситуациями равновесия.

К сожалению, не каждая игра обладает ситуациями равновесия. Например, игра в орлянку такой ситуации не имеет.

Вообще, если игра не имеет ситуаций равновесия, то обычно некоторые игроки пытаются отгадать стратегии остальных участников, сохраняя собственные стратегии в тайне. Следовательно, в играх с полной информацией ситуации равновесия существуют.

Симметричные игры.

Квадратная матрица А = (а_ij) называется кососимметрической, если а_ij = - а_ji для всех i, j. Матричная игра называется симметричной, если ее матрица кососимметрическая.

Пример 6.

Рассмотрим игру с матрицей (обобщение хорошо известной детской игры «камень, мешок и ножницы».)

• Так как матрица кососимметрическая, значение игры должно быть равно нулю.

• Очевидно, эта игра не имеет седловой точки.

• Кроме того, оптимальная стратегия не может использовать только две чистые стратегии;

действительно, если, например, x₁ > 0, х₂ > 0 и x₃ = 0, то такая смешанная стратегия для игрока I дает отрицательный ожидаемый выигрыш против первой чистой стратегии игрока II. Поэтому все компоненты оптимальной стратегии х будут положительными. Эта стратегия оптимальна также и для игрока II, что компоненты х должны удовлетворять системе линейных уравнений

Решение этих уравнений нетрудно найти. Для обоих игроков это единственная оптимальная стратегия.