1. Закон тотожності

Закон тотожності (лат. Lex identitatis) можна сформулювати так: будь яка-думка протягом певного міркування, умовиводу, опису та інших інтелектуальних актів повинна зберігати незмінними форму і зміст.

Якщо, наприклад, вживаючи поняття „логіка” у тексті, кожен раз розуміти під цим щось різне (назва галузі знань або послідовність мислення або стиль викладу думок), читач так і не зможе з’ясувати в достатній мірі, що ж таке „логіка”.

У традиційній логіці закон тотожності записується за допомогою формул:

*А є А; *не-А є не-А (заперечний варіант); *А=А

2. Закон суперечливості

Формулюючи закон суперечності (лат. Lex contradictionis), ми стверджуємо: не можуть бути водночас істинними дві протилежні думки про одну й ту ж річ в одному й тому ж відношенні.

У символічному вигляді закон записується так:

Невірно, що А і не-А

У сучасному богослов’ї, наприклад, можна зустріти вислів „безрелігійне християнство”. Тут немає порушення закону суперечності. В даному випадку йдеться про релігію як застарілий і примітивний світогляд, людський витвір, заснований на фантазіях і несумісний з даними науки, і про християнський світогляд, який виходить з віри в Бога як абсолютне добро і намагання жити у любові та істині.

3. Закон виключеного третього

Закон виключеного третього лаконічно виражають латинською фразою „tertium non datur”(третього не дано). Його можна сформулювати і в такий спосіб: з двох суперечних думок, висловлених щодо одного й того ж і в одному й тому ж смислі, одна обов’язково істинна. Наприклад, якщо ми скажемо: „Це судження є простим” і „Це судження не є простим”, то істинним висловлюванням буде лише одне з них.

А є або В, або не-В

4. Закон достатньої підстави

У відповідності із законом достатньої підстави (лат. Lex rationis determinantis sive sufficientis) будь-яка істинна думка повинна бути обґрунтована іншими думками, істинність яких доведена.

Якщо є В, то є його підстава – А

У відповідності з цим законом жодне явище не може існувати, жодне твердження не може вважатися істинним безпідставно (лат. ratio - підстава). В українській мові є зворот „мати рацію”, який досить адекватно відображає суть вимог закону достатньої підстави. Сказавши комусь: „Ти маєш рацію”, людина тим самим дає зрозуміти, що наведені факти і аргументи є достатніми для того, щоб впевнитися у правдивості повідомлення чи міркування.

5. Закони математичної логіки

Вони являють собою „складні формули, які отримують значення істинності незалежно від того, яке значення істинності чи хибності приймають атомарні висловлювання”

Зазначені закони традиційної логіки в системі математичної логіки є тавтологіями і записуються у вигляді відповідних формул.

1. Закон тотожності, згідно з яким кожний вислів має бути тотожним самому собі,

символічно позначається так:

p є p або p p p p

2. Закон суперечності в логіці висловів виражають в такий спосіб:

невірно, що p і не-p

3. Для закону виключеного третього чинним буде такий символічний вираз:

p чи (невірно, що p)

1. Закони подвійного заперечення. Їх можна представити у двох символічних варіантах:

• якщо [не (не-p)], то p ; а також зворотний вислів:

• якщо p, то [ не (не-p)]

3. Закони диз’юнкції. Як і кон’юнкція, диз’юнкція характеризується комутативністю, про що свідчить формула:

якщо (p чи q), то (q чи p)

2. Закони кон’юнкції. Ці закони представлено формулами, які характеризують різні властивості кон’юнкції.

Якщо (p і q), то (q і p )

25. Формули логічних рівносильностей

Формули називаються рівносильними, якщо таблиці істинності цих формул будуть збігатися. Рівносильні формули називаються ще еквівалентними, бо в процесі кожного набору значень для своїх змінних вони набувають однакового значення істинності або значення хибності (див. таблицю істинності для формули еквівалентності А = В).

Рівносильну формулу можна отримати внаслідок заміни пропозиційних зв'язок на підставі відношення залежності між ними. Визначають, що для будь-якої формули можна назвати рівносильну для неї формулу, яка містить символи -і, V, V. Наприклад, формулу виду -1 А V-" В можна замінити формулою виду -" (А л В), що означає -oА /-іВ = -" (А л В); формулу виду А -> В можна замінити формулою -" А V В, що означає А -> В = -і А V В; формулу А V В можна замінити формулою -" (-"А Л В), що означає А V В =->(-* А Л -> В).

Рівносильні формули називаються законами логіки висловлювань.

Закони логіки висловлювань (ЛВ) - рівносильні, тотожно-істинні формули, що входять до структури класичної символічної логіки як формальної системи. До них належать: закон тотожності, закон несуперечності, закон виключеного третього, закон асоціативності, закон дистрибутивності, закон ідемпотентності, закон комутативності, закон контра позиції, закон поглинання, закон подвійного заперечення, закони де Моргана та ін.

Закон тотожності визначає, що кожне висловлювання є логічним наслідком самого себе. Формальний вираз закону А-> А.

Закон несуперечності визначає, що висловлювання А неправильне, якщо водночас істинні його ствердження і його заперечення. Формальний вираз закону -1 (А л -> А).

Закон виключеного третього визначає, що висловлювання А або істинне, або хибне за значенням істинності, але не може бути водночас істинним і хибним. Формальний вираз закону А 1 А.

Закони тотожності, несуперечності, виключеного третього вперше сформулював Арістотель. Вони є також законами традиційної логіки (див. 3.3). У символічній логіці ці закони розглядають як елементи певної формально-логічної системи і методом побудови таблиці істинності визначають як тотожно-істинні формули.

Закон асоціативності (лат. associâtіо - з'єднання) - закон, що визначає еквівалентність кон'юнкції або диз'юнкції з трьома змінними за різного розставлення дужок. На підставі цього закону здійснюють певні логічні операції над висловлюваннями А, В, С для кон'юнкції, диз'юнкції; над класами. 

Закон експортацїі визначає, що коли змінні А, В, С з'єднані символами кон'юнкції та імплікації, то з істинності кон'юнкції А а В випливає істинність С: (А а В -> С) К А -> (В -> С), де ь- - символ дедуктивного виведення (чит.: якщо істинність кон'юнкції А л В імплікує С, то, якщо істинне А, - випливає з істинності В слідує істинність С).

Закон комутативності (лат. - змінюючий) означає, що при множенні (кон'юнкції) та додаванні (диз'юнкції) результат не залежить від порядку змінних. Закон комутативності: для кон'юнкції (А Л В) = {В л А) (чит.: А та В еквівалентне В й А); для диз'юнкції (А V В) = (В V А) (чит.: А або В еквівалентне, що В або А).

Закон контрапозиції (лат. - протиставлення) - закон, за яким імплікації можна протиставити її заперечення: (А -> В) = (-> В -> -o А) (чит.: якщо з висловлювання А випливає висловлювання В, то із заперечення висловлювання В випливає заперечення А).

Закон поглинання визначає, що в кон'юнктивному або диз'юнктивному висловлюванні зі змінними А, В здійснюється поглинання додаткового висловлювання. Закон поглинання: для кон'юнкції А л (А v В) = А (чит.: А й (А або В) еквівалентне А); для диз'юнкції А V (А V В) = А (чит.: А або (А або В) еквівалентне А).

Закон подвійного заперечення визначає, що подвійне заперечення висловлювання А (заперечення заперечення) еквівалентне його ствердженню. Зображають формулами:

1. -" А -> А (чит.: якщо неправильно, що не А, то А);

2* "" -" А = А (чит.: неправильно, що не А еквівалентне ствердженню А).

26. формули суто умовних виводів логіки висловлювань

Виводи логіки висловлювань г дедуктивними опосередкованими виводами. їх основна особливість полягає в тому, то тут враховується тільки структура складних висловлювань (молекул) і не враховується структура висловлювань, які є елементарними (атоми). Інакше кажучи, у виводах логіки висловлювань міркування будується винятково на логічних зв'язках між висловлюваннями.

Логічна схема (структура) виводу буде такою:

Аі, Аг, Ап або А,, А2, Ап Ь В.

В

У цій структурі висловлювання "А,, А,,..., Ап" є засновками, "В"- висновок.

Якщо кон'юнкція засновків, з'єднана з висновком знаком імплікації, є завжди істинною формулою (тавтологією), то такий вивід називають правильним:

(А, Л А, Л ... Л А ) —"В - завжди істинна формула.

Якщо ж знайдеться такий набір значень істинності засновків та висновку, при якому формула набуде значення істинності "хиба", то такий вивід називають неправильним.

Отже, правильний вивід відрізняється від неправильного тим, що в ньому між кон'юнкцією засновків та висновком існує відношення логічного слідування.

З наведених характеристик виводу логіки висловлювань витікає процедура перевірки його правильності. Для цього достатньо:

1. Формалізувати всі засновки та висновок.

2. Скласти кон'юнкцію формалізованих засновків і з'єднати їх з висновком знаком імплікації.

3. Побудувати таблицю істинності отриманої формули. Якщо формула є завжди істинною, то вивід правильний, якщо ні, то вивід неправильний.