Теорема Хеза.
Теорема (Хеза). Пусть
является
отношением, и
-
атрибуты или множества атрибутов этого
отношения. Если имеется функциональная
зависимость
,
то проекции
и
образуют
декомпозицию без потерь.
Доказательство. Необходимо
доказать, что
для
любого состояния отношения
.
В левой и правой части равенства стоят
множества кортежей, поэтому для
доказательства достаточно доказать
два включения для двух множеств
кортежей:
и
.
Докажем первое включение. Возьмем
произвольный кортеж
.
Докажем, что он включается также и в
.
По определению проекции, кортежи
и
.
По определению естественного соединения
кортежи
и
,
имеющие одинаковое значение
общего
атрибута
,
будут соединены в процессе естественного
соединения в кортеж
.
Таким образом, включение доказано.
Докажем обратное включение. Возьмем
произвольный кортеж
.
Докажем, что он включается также и в
.
По определению естественного соединения
получим, что в имеются кортежи
и
.
Т.к.
,
то существует некоторое значение
,
такое что кортеж
.
Аналогично, существует некоторое
значение
,
такое что кортеж
.
Кортежи
и
имеют
одинаковое значение атрибута
,
равное
.
Из этого, в силу функциональной зависимости
,
следует, что
.
Таким образом, кортеж
.
Обратное включение доказано. Теорема
доказана.
Замечание. В доказательстве теоремы Хеза наличие функциональной зависимости не использовалось при доказательстве включения . Это означает, что при выполнении декомпозиции и последующем восстановлении отношения при помощи естественного соединения, кортежи исходного отношения не будут потеряны. Основной смысл теоремы Хеза заключается в доказательстве того, что при этом не появятся новые кортежи, отсутствовавшие в исходном отношении.
Т.к. алгоритм нормализации (приведения отношений к 3НФ) основан на имеющихся в отношениях функциональных зависимостях, то теорема Хеза показывает, что алгоритм нормализации является корректным, т.е. в ходе нормализации не происходит потери информации.
НФБК
Определение 1. Отношение находится в нормальной форме Бойса-Кодда (НФБК) тогда и только тогда, когда детерминанты всех функциональных зависимостей являются потенциальными ключами.
Замечание. Если отношение находится в НФБК, то оно автоматически находится и в 3НФ. Действительно, это сразу следует из определения 3НФ.
Пример . Предположим, что нам необходимо учитывать поставки, но каждый акт поставки должен иметь некоторый уникальный номер (назовем его "сквозной номер поставки"). Отношение может иметь следующий вид:
Номер поставщика PNUM |
Номер детали DNUM |
Поставляемое количество VOLUME |
Сквозной номер поставки NN |
1 |
1 |
100 |
1 |
1 |
2 |
200 |
2 |
1 |
3 |
300 |
3 |
2 |
1 |
150 |
4 |
2 |
2 |
250 |
5 |
3 |
1 |
1000 |
6 |
Одним потенциальным ключом данного отношения является, пара атрибутов {PNUM, DNUM}. Другим ключом, в силу уникальности сквозного номера, является атрибут NN. В данном отношении имеются следующие функциональные зависимости: Зависимость атрибутов от первого ключа отношения:
{PNUM, DNUM} VOLUME, {PNUM, DNUM} NN, Зависимость атрибутов от второго ключа отношения: NN PNUM, NN DNUM, NN VOLUME,
Зависимости, являющиеся следствием зависимостей от ключей отношения:
{PNUM, DNUM} {VOLUME, NN}, NN {PNUM, DNUM}, NN {PNUM, VOLUME}, NN {DNUM, VOLUME}, NN {PNUM, DNUM, VOLUME}.
детерминанты всех зависимостей являются потенциальными ключами, поэтому данное отношение находится в НФБК. Особенностью данного отношения является то, что оно имеет два совершенно независимых потенциальных ключа.