4.2. Необходимое и достаточное условие устойчивости

Необходимое условие устойчивости – один знак всех постоянных времени передаточной функции системы – выполнено.

Достаточное условие устойчивости – отрицательное значение всех корней характеристического уравнения системы. Для этого запишем характеристическое уравнение и найдем его корни.

(31)

Аналогично используя ППП Matlab и команду pole() вычислим корни характеристического уравнения системы

ans =

-98.9639

-58.8071

-0.2834

Все корни действительные и отрицательные – САР устойчива в разомкнутом состоянии.

4.3. Критерий устойчивости Найквиста

Для построения годографа воспользуемся полученными ранее формулами для действительной (27) и мнимой (28) составляющих.

Рис. 5. Годограф Найквиста

Годограф разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1; j0), следовательно – САР устойчива в замкнутом состоянии.

4.4. Построение частотных характеристик системы

ЛАЧХ определяется следующим соотношением

(32)

Тогда

Исходное выражение для ЛФЧХ имеет следующий вид

(34)

где: s1, s2, s3 – корни характеристического полинома передаточной функции.

Используя формулы для расчета и построения логарифмических АЧХ (33) и ФЧХ (34), выполним построение данных характеристик. Полученные характеристики представлены на рис. 7.

Из построенных ЛАЧХ и ЛФЧХ (см. рис. 7) видно, что система устойчива в замкнутом состоянии

• запас по амплитуде ∆L = 11,7 dB; (∆L =6…12 dB);

• запас по фазе ∆φ = 41,5 deg (∆φ =30…60 deg).

что удовлетворяет требованиям, предъявленным в техническом задании (в скобках приведен диапазон значений, указанных в техническом задании).

Рис. 7. Логарифмические характеристики и расположение корней на комплексной плоскости

4.5. Построение временных характеристик системы

Переходной процесс строится для замкнутой системы. Для этого вводится отрицательная обратная связь. Если запасы устойчивости по фазе и по амплитуде удовлетворяют всем требованиям, предъявляемым в техническом задании, то достаточно ввести единичную обратную связь (коэффициент передачи равен 1). Если требования не выполнены – необходимо введение дополнительных корректирующих звеньев.

Передаточную функцию замкнутой системы определим как

где: K_ос – коэффициент передачи цепи обратной связи.

= . (36)

Примем K_ос=1.

Выполним обратное преобразование Лапласа и тем самым, перейдем во временную область

Используя ППП Matlab и команду step() получим переходной процесс исследуемой системы. Используя возможности данной команды, и применив дополнительные параметры, отобразим на переходном процессе необходимые критерии для оценки качества переходного процесса:

• setting time – время переходного процесса;

• peak response – максимальное перерегулирование (величина перерегулирования и время достижения первого максимума) ;

• rise time – время нарастания;

• steady state – величина устранившегося значения после переходного процесса.

Также величину перерегулирования можно определить следующим образом

Рис. 8. Переходной процесс с единичным коэффициентом усиления Кос в цепи обратной связи

Используя полученный график переходного процесса, оценим качество переходного процесса по следующим критериям:

• время переходного процесса – t_п=0,187 с; (t_п=0,3 с)

• величина перерегулирования – σ=28,4% ; (σ=30%)

• время нарастания – t_н=0,0351 с; (t_н=0,05 с)

• время запаздывания – t_з=0,01 с; (t_з=0,01 с).

Сравнивая полученные данные и данные, записанные в техническом задании (записаны в скобках) видно, что качество полученного переходного процесса удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к данной системе автоматического регулирования.