Анализ исходной системы автоматического регулирования
3.1. Расчет постоянных времени передаточной функции системы
Определим постоянные времени и коэффициент усиления, используя формулы (10) – (14)
После раскрытия скобок в уравнении (15) постоянные времени определим используя (16) – (19)
=3210
.
c.
Пренебрежём
наименьшей постоянной
времени и получим передаточную функцию
третьего порядка
или подставив в передаточную функцию значения рассчитанных постоянных времени и коэффициента усиления получим
3.2. Необходимое и достаточное условие устойчивости
Выше была получена передаточная функция исследуемой системы
Используя свойство необходимого и достаточного условия устойчивости системы выполним проверку на устойчивость.
Необходимое условие устойчивости – один знак всех постоянных времени передаточной функции системы – выполнено.
Достаточное условие устойчивости – отрицательное значение всех корней характеристического уравнения системы. Для этого запишем характеристическое уравнение и найдем его корни.
(23)
Используя ППП Matlab и команду pole() вычислим корни характеристического уравнения системы
ans =
-0.0763
0.0001 + 0.0639i
0.0001 - 0.0639i
Так как имеем две вещественные части комплексных сопряженных корней больше нуля то, следовательно, система в разомкнутом состоянии не устойчива.
3.3. Критерий устойчивости Найквиста
Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости системы в замкнутом состоянии по поведению годографа в разомкнутом состоянии.
Получим комплексный коэффициент усиления системы
Помножим числитель и знаменатель передаточной функции на сопряженный знаменателю комплекс и выделим действительную и мнимую часть.
На основании полученных выражений для мнимой (28) и действительной (27) составляющих построим годограф Найквиста (рис. 2, 3) используя ППП Matlab.
Рис. 2. Годограф Найквиста исходной системы
Рис. 3. Годограф Найквиста (поведение в окрестности точки (-1; j0))
Годограф разомкнутой системы охватывает точку с координатами (-1; j0), следовательно – САР неустойчива в замкнутом состоянии.
3.4. Построение частотных характеристик системы
Логарифмические частотные характеристики позволяют количественно оценить устойчивость системы (запасы по фазе и по амплитуде), а также оценить качество переходного процесса. Заметим, что основное влияние на качество переходного процесса оказывает средняя часть характеристики – область средних частот.
С использованием ППП Matlab построим логарифмические частотные характеристики (рис.4).
Из построенных ЛАЧХ и ЛФЧХ (см. рис. 4) видно, что система неустойчивая в замкнутом состоянии и колебательная (всплеск ЛАЧХ в области средних частот).
Рис.
4. Логарифмические характеристики и
расположение корней на комплексной
плоскости
Рис. 4. Логарифмические характеристики
Анализ скорректированной системы автоматического регулирования
В предыдущем разделе было показано, что система с параметрами, предложенными в техническом задании неработоспособна. Внесем корректировку в параметры, указанные в техническом задании и выполним пересчет коэффициентов передаточной функции и повторное построение частотных характеристик.
4.1. Расчет постоянных времени передаточной функции системы
Введем новые значения параметров и примем
а также были изменены коэффициенты линеаризации
Введение
новых параметров необходимо для предания
системе требуемого запаса устойчивости
по фазе и амплитуде (параметры a,
J,
cп,
)
а также быстродействия и качества
переходного процесса (параметры J,
Dт,
a).
Изменение параметра b
(увеличение длины струйной трубки)
вызвано увеличением параметра a
(смещение плеча приложения силы).
Увеличение параметра cп
– это
применение
более жесткой пружины в плече a.
Прочие параметры оставлены без изменений.
Новые постоянные времени и коэффициент усиления в уравнении (9) определим по формулам (10) – (14) следующим образом
Раскрыв скобки в уравнении (9) определим по формулам (16) – (19) постоянные времени равны
=0,00065
c.
Пренебрежём наименьшей постоянной времени и получим передаточную функцию третьего порядка
или подставив в передаточную функцию значения рассчитанных постоянных времени
