5.2. Деформації при крученні. Закон Гука. Умови жорсткості

У процесі виведення формул для напружень вже вводилося поняття деформації, за яку приймався кут закручування перерізу, перпендикулярного до осі вала відносно нерухомого опорного перерізу, кути φ та dφ, рисунок 54.

Рисунок 54. Кут закручування вала на довжині l.

Розглядаючи співвідношення (90), неважко отримати:

, (94)

або інтегруючи

, (95)

при довженні вала (або ділянки вала) найбільший кут закручування буде між крайніми перерізами і дорівнюватиме:

(рад). (96)

У даному випадку розмірність кута φ – радіани. Для того, щоб отримати величину φ в градусах, потрібно додати множник , тобто

(град). (97)

Вирази (96) та (97) являють собою закон Гука при крученні, а величину називають жорсткістю при крученні.

Крім абсолютної величини кута закручення φ, в інженерній практиці часто використовують відносний кут закручування θ:

(рад/м), (98)

або

(град/м) (99)

Тепер, коли записані вирази для деформацій, можна записати умову жорсткості. Її можна записати в різних варіаціях, в залежності від того, яка допустима величина є заданою:

(рад); (100)

(град); (101)

; (рад/м) (102)

; (град/м) (103)

Використовуючи умови жорсткості, можна за відомою картиною зовнішніх навантажень, від яких залежить величина , знайти розміри поперечного перерізу заданої форми, які «сховані» у величині – полярному моменті інерції; або навпаки, знаючи форму та розміри поперечного перерізу, визначити допустимі величини силових навантажень на вал.

5.3. Приклад розрахунку вала на міцність і жорсткість

Поставимо перед собою задачу підібрати діаметр для суцільного стального вала круглого поперечного перерізу, навантаженого так, як зображено на рисунку 55.

Рисунок 55. Навантаження вала

При цьому приймаємо такі значення параметрів навантажень, розмірів та допустимих величин:

1,5 кН⋅м, а = 0,4 м;

1,8 кН⋅м, в = 0,8 м;

1,8 кН⋅м, с = 0,6 м;

[τ] = 80МПа = 80⋅ кПа;

[θ] = 1 град/м;

G = 8⋅ МПа = 8 кПа.

1) Визначаємо крутні моменти, що діють на окремих ділянках вала. При цьому почнемо з вільного кінця вала, тому що там прикладено відомий момент, у той час, як на лівому кінці в жорсткому закріплені вала виникає невідомий нам спочатку реактивний момент. Позначимо окремі ділянки вала І, ІІ, ІІІ. Використовуючи метод перерізів, знайдемо значення крутних моментів на кожній ділянці вала. Побудову епюр крутних моментів Т зображено на рисунку 56 б).

Рисунок 56. Схема для розрахунку вала:

а) вигляд навантаження вала,

б) графік розподілу крутних моментів.

2) Визначимо діаметр вала з умови міцності (93):

При цьому згадаємо, що круглого поперечного перерізу полярний момент опору визначається, як відомо, виразом:

. (104)

Тоді, перетворюючи та узагальнюючи останні два вирази, можна записати:

= ≈ 0,48 м = 48 мм. (105)

3) Тепер визначимо діаметр вала з умови жорсткості.

, (106)

де – полярний момент інерції запишеться як . Перетворюючи ці залежності, отримаємо:

= ≈ 5,9⋅ м = 59 мм. (107)

Реальний розмір діаметр вибираємо з цих двох розрахунків як максимальне значення тобто d = 59 мм. У цьому випадку він буде задовольняти як розрахунку на міцність, так і розрахунку на жорсткість.

Контрольні запитання

1. Що таке кручення?

2. Охарактеризуйте деформації при крученні.