Алгебраїчні властивості векторного добутку

1) 2)

3) 4)

Геометричні властивості векторного добутку

1. Необхідною й достатньою умовою колінеарності двох ненульових векторів є рівність нулю їхнього векторного добутку:

 || (4.16)

2. Площа паралелограма, побудованого на векторах і (4.17)

3. Площа трикутника, побудованого на векторах і

(4.18)

Векторний добуток в ортонормованому базисі

У базисі векторний добуток векторів

обчислюється за формулою:

(4.19)

Наслідок. Вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх координати пропорційні, тобто:

 (4.20)

Приклад 5. Знайти площу трикутника з вершинами A(–1, 3, 0), B(7, 13, 0), C(–1, 1, 3) та довжину висоти h, опущеної з вершини В на сторону АС.

 Площа трикутника дорівнює половині модуля векторного добутку векторів

Оскільки то

(од.²).

З іншого боку, площу трикутника можна обчислити за формулою звідки знаходимо висоту трикутника: _

6.3. Мішаний добуток векторів.

Мішаним добутком трьох векторів називається число, яке дорівнює векторному добутку , помноженому скалярно на вектор

Основна алгебраїчна властивість мішаного добутку

Геометричні властивості мішаного добутку

4. Об’єм паралелепіпеда:

(4.21)

	Мішаний добуток некомпланарних векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, взятому зі знаком плюс, якщо трійка векторів права, і зі знаком мінус, якщо трійка ліва (рис. 4.14):
Рис. 4.14
Об’єм чотирикутної піраміди: (4.22)	Об’єм трикутної піраміди: (4.23)
Рис. 4.15. Чотирикутна піраміда	Р ис. 4.16. Трикутна піраміда

7. Необхідна й достатня умова компланарності трьох векторів:

= 0  вектори компланарні.

Якщо > 0  трійка векторів права;

< 0  трійка векторів ліва.

Мішаний добуток в ортонормованому базисі

У базисі мішаний добуток векторів дорівнює визначнику:

(4.24)

Необхідна й достатня умова компланарності трьох векторів:

= 0.

Приклад 6. Дано вершини піраміди A(1, 2, 3), B(0, –1, 1), C(2, 5, 24), D(3, 0, –2). Знайти довжину висоти, опущеної з вершини D.

► Введемо вектори:

За формулою (4.24) обчислимо мішаний добуток векторів:

За формулою (4.23) обчислимо об’єм трикутної піраміди:

(од.³).

Знайдемо площу основи піраміди – трикутника ABC, яка дорівнює половині модуля векторного добутку векторів і

(од.²).

Об’єм трикутної піраміди:



9