П.3. Лінійна залежність векторів .

Вираз вигляду , де – числа, називається лінійною комбінацією векторів

Вектори називаються лінійно незалежними, якщо їх лінійна комбінація дорівнює нулю тільки тоді, коли c₁ = c₂ =…= c_n = 0:

(4.2)

Якщо хоча б одне із чисел с_k  0, то вектори називаються лінійно залежними, оскільки принаймні один із векторів можна подати у вигляді лінійної комбінації інших, наприклад, при с₁  0:

(4.3)

Максимальна кількість лінійно незалежних векторів простору називається розмірністю простору.

Мають місце наступні твердження:

1. Будь-які два колінеарні вектори лінійно залежні (рис. 4.7).

2. Будь-які три компланарні вектори лінійно залежні (рис. 4.8).

3. Будь-які чотири вектори у тривимірному просторі лінійно залежні.

Рис. 4.7 Рис. 4.8

П.4. Базис. Розклад вектора за базисом.

Упорядкована сукупність n лінійно незалежних векторів n-вимір­ного простору Rⁿ називається базисом, тобто базисом векторного простору називається така система векторів, яка:задана в певному порядку; лінійно незалежна; будь-який вектор простору є лінійною комбінацією цієї системи векторів.

Приклади базисів:

1. Базисом на прямій (у R¹) є будь-який ненульовий вектор.

2. Базисом на площині (у r2) є два упорядковані неколінеарні вектори.

3. Базисом у тривимірному просторі (r3) є три упорядковані некомпланарні вектори.

Якщо базисні вектори взаємно перпендикулярні (ортогональні), базис називають ортогональним. Ортонормованим називають ортогональний базис, утворений одиничними векторами.

Якщо вектор поданий у вигляді лінійної комбінації базисних векторів:

, (4.4)

то кажуть, що він розкладений за базисом Вектори називають складовими (компонентами) вектора , а числа  його координатами в базисі Зазвичай пишуть так:

На рис. 4.9 наведено приклад розкладу вектора за базисом Координатами вектора є числа (3, 2), а складовими  вектори і

Р ис. 4.9. Розклад вектора за базисом

Умови колінеарності та лінійної залежності векторів через їх координати

Два вектори і колінеарні, тоді і тільки тоді коли їх координати пропорційні.

Система векторів є лінійно незалежною, якщо визначник

і лінійно залежною, якщо

П. 5. Координати вектора на площині та в просторі. Довжина вектора.

У декартовій системі координат базисні вектори, що пов’язані з осями Ox, Oy, Oz, позначають . Якщо – координати вектора в базисі , то:

(7.6)

Рис. 4.10. Розклад вектора за базисом

Якщо в базисі , , задані координати початку й кінця вектора : А(х₁, у₁, z₁), В(x₂, y₂, z₂) (рис. 4.10), то

= (х₂ – х₁) + (у₂ – у₁) + (z₂ – z₁) = (х₂ – х₁, у₂ – у₁, z₂ – z₁) (4.5)