ЛЕКЦІЯ № 4. “Елементи векторної алгебри”.

1. Поняття вектора. Колінеарність та компланарність векторів. Рівність векторів.

2. Дії над векторами в геометричній формі.

3. Лінійна залежність векторів.

4. Базис. Розклад вектора за базисом. Ортогональна система векторів.

5. Координати вектора на площині та у просторі. Довжина вектора.

6.Скалярний, векторний та мішаний добутки векторів.

П.1. Поняття вектора. Колінеарність та компланарність векторів. Рівність векторів.

Більшість величин, які вивчаються в математиці і фізиці, визначаються числовим значенням: довжина, площа, об’єм, маса, робота, температура та ін. Такі величини називаються скалярними. Але зустрічаються величини, які не можна повністю охарактеризувати лише їх числовим значенням. Це, наприклад, сила, швидкість, прискорення тощо. Крім їх числового значення потрібно знати ще й їх напрямок. Такі величини, які визначаються як числовим значенням, так і напрямком, називаються векторними або просто векторами. (Позначають = ). Графічно вектор = – це направлений відрізок, де А – початок вектора, а В – його кінець.

Вектори позначаються як двома великими літерами, так і однією малою зі стрілкою, наприклад, (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Зображення й позначення векторів

Р ис. 4.2. Рівні вектори

Довжину (модуль) вектора позначають

Якщо то вектор називають нульовим і позначають , іншими словами, нульовий вектор – це вектор, у якого початок та кінець співпадають. Напрямок нуль-вектора невизначений, а модуль дорівнює нулю.

Якщо то вектор називають одиничним, або ортом.

Вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих, називаються колінеарними. Нуль-вектор вважається колінеарним до будь-якого вектора. Колінеарність позначають символом ||: || Серед колінеарних векторів можуть бути співнапрямлені (позначають ↑↑ ) або протилежно напрямлені (позначають ↑↓ ).

Вектори, які лежать в одній площині або паралельні до однієї площини, називаються компланарними.

Вектори називають рівними, якщо вони мають однакові довжини та однакові напрями (рис. 4.2).

П.2. Дії над векторами в геометричній формі.

Р ис. 4.3. Множення вектора на скаляр

Добутком вектора на дійсне число λ називається такий вектор (рис. 4.3), для якого виконуються умови: 1. | |=| λ | | |– довжина вектора ; 2. ↑↑ – коли λ >0; 3. ↑↓ – коли λ <0. Властивості: Для будь-яких дійсних чисел α і β та векторів , мають місце рівності: 1. 1· = ; (–1)· = –  ; 2. α·( + ) = α· +α· ; 3. (α+β)·  =  α· +β· ; 4. α·(β· ) = (α·β)· .

Сумою векторів і називається вектор , початок якого збігається з початком вектора , а кінець  з кінцем вектора за умови, що початок вектора збігається з кінцем вектора (правило трикутника (рис. 4.4)). Вектор є діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах і (правило паралелограма). Додавання кількох векторів здійснюється за правилом замикання ланцюжка векторів (правило многокутника (рис. 4.5)).

Правило паралелограма	Правило трикутника	Правило многокутника
Рис. 4.4. Додавання двох векторів		Рис. 4.5. Додавання кількох векторів

Властивості додавання:

1. Для будь-яких векторів , і : +( + )=( + )+ (асоціативний закон).

2. Для будь-яких векторів і : + = + ( комутативний закон додавання ).

3. Існує вектор , такий, що для будь-якого : + = .

4. Існує вектор ^′, такий, що для будь-якого вектора : + ^′ = .

Різницею двох векторів і називається сума вектора й вектора ( ), протилежного вектору (рис. 4.6):

– = + (– ). (4.1)

Р ис. 4.6. Різниця двох векторів