10 Вычисление определенного интеграла
Цель работы: научиться вычислять определенные интегралы.
Ход работы:
(согласно вариантам)
Вычислить определенный интеграл непосредственным интегрированием.
Вычислить определенный интеграл способом подстановки.
Вычислит неопределенный интеграл интегрированием по частям.
Вычислить неопределенный интеграл методом неопределенных коэффициентов.
Пример ВЫПОЛНения заданий
Вычислим определенный интеграл непосредственным интегрированием
Способ подстановки
Метод интегрирования по частям
.
Для интегралов вида
,
,
за и
принимается многочлен Р(х)Для интегралов вида
,
,
за и
принимается соответственно
,
,
.
4. Метод разложения на сумму элементарных дробей
Подынтегральное выражение имеет вид
Знаменатель дроби можно разложить на множители
Тогда подынтегральное выражение можно представить в виде суммы двух простых дробей
,
где A и B - неизвестные коэффициенты.
Найдем их, для это сумму простых дробей приведем к общему знаменателю
Так как знаменатели дробей одинаковые, то и числители должны быть равны, то есть
Следовательно:
Тогда
1 вариант 1.
2.
3.
4.
|
3 вариант 1.
2.
3.
4.
|
2 вариант 1.
2.
3.
4.
|
4 вариант 1.
2.
3.
4.
|
5 вариант 1.
2.
3.
4.
|
9 вариант 1.
2.
3.
4.
|
6 вариант 1.
2.
3.
4.
|
10 вариант 1.
2.
3.
4.
|
7 вариант 1.
2.
3.
4.
|
11 вариант 1.
2.
3.
4.
|
8 вариант 1.
2.
3.
4.
|
12 вариант 1.
2.
3.
4.
|
13 вариант 1.
2.
3.
4.
|
15 вариант 1.
2.
3.
4.
|
14 вариант 1.
2.
3.
4.
|
|
Контрольные вопросы:
Какие основные способы вычисления определенного интеграла Вы знаете?
Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
Запишите формулу интегрирования по частям.
11 Решение прикладных задач с помощью определенного интеграла
Цель работы: научиться решать прикладные задачи с помощью определенного интеграла.
Ход работы:
(согласно вариантам)
Решить задачу на вычисление работы переменной силы.
Решить задачу на движение.
Пример ВЫПОЛНения заданий
Решим задачу на вычисление работы переменной силы.
Известно, что пружина растягивается на 0,04м под действием силы 400Н. Найти работу, которую совершит сила при растяжении пружины на 0,06м.
По закону Гука имеем F=kx, где F – растягивающая сила, k – коэффициент жесткости, x – удлинение.
Откуда для нахождения коэффициента жесткости получим
Формула для вычисления работы переменной силы F(x)
Так как F(x)=10000x, а удлинение пружины начинается из состояние равновесия, то пределы интегрирования примем от 0 до 0,06. Тогда работа
Решим задачу на движение.
Тело движется с переменной скоростью v(t)=6t+3 в течении 5с. Найти перемещение тела:
А) за все время движения;
Б) за последние 3 секунды движения.
Формула для вычисления перемещения тела
А) При вычислении перемещения за все время движения пределы интегрирования следует брать от 0 до 5, так как за начало отсчета принимается 0, тогда перемещение
Б) При вычислении перемещения за последние 3 секунды движения пределы интегрирования следует брать от 2=5-3 до 5, так как за начало отсчета принимается 2, тогда перемещение
1 вариант №1. Известно, что пружина растягивается на 0,02м под действием силы 200Н. Найти работу, которую совершит сила при растяжении пружины на 0,08м. №2. Тело движется с переменной скоростью v(t)=5t+2 в течении 10с. Найти перемещение тела за последние 4 секунды движения. |
2 вариант №1. Известно, что пружина растягивается на 0,02м под действием силы 100Н. Найти работу, которую совершит сила при растяжении пружины на 0,04м. №2. Тело движется с переменной скоростью v(t)=3t+1 в течении 5с. Найти перемещение тела за это время. |
3 вариант №1. Известно, что пружина растягивается на 0,01м под действием силы 100Н. Найти работу, которую совершит сила при растяжении пружины на 0,03м. №2. Тело движется с переменной скоростью v(t)=2t в течении 10с. Найти перемещение тела за последние 2 секунды движения. |
4 вариант №1. Известно, что пружина растягивается на 0,02м под действием силы 400Н. Найти работу, которую совершит сила при растяжении пружины на 0,06м. №2. Тело движется с переменной скоростью v(t)= t+2 в течении 8с. Найти перемещение тела за последние 2 секунды движения. |
5 вариант №1. Известно, что пружина растягивается на 0,01м под действием силы 1500Н. Найти работу, которую совершит сила при растяжении пружины на 0,8м. №2. Тело движется с переменной скоростью v(t)=4t+1 в течении 3с. Найти перемещение тела за это время. |
6 вариант №1. Известно, что пружина растягивается на 0,03м под действием силы 600Н. Найти работу, которую совершит сила при растяжении пружины на 0,1м. №2. Тело движется с переменной скоростью v(t)=12t+2 в течении 2с. Найти перемещение тела за последнюю секунду движения. |
7 вариант №1. Известно, что пружина растягивается на 0,01м под действием силы 300Н. Найти работу, которую совершит сила при растяжении пружины на 0,2м. №2. Тело движется с переменной скоростью v(t)=15 в течении 5с. Найти перемещение тела за последние 2 секунды движения. |
8 вариант №1. Известно, что пружина растягивается на 0,04м под действием силы 800Н. Найти работу, которую совершит сила при растяжении пружины на 0,03м. №2. Тело движется с переменной скоростью v(t)= t+2 в течении 7с. Найти перемещение тела за последние 2 секунды движения. |
9 вариант №1. Известно, что пружина растягивается на 0,01м под действием силы 300Н. Найти работу, которую совершит сила при растяжении пружины на 0,06м. №2. Тело движется с переменной скоростью v(t)=3t+1 в течении 5с. Найти перемещение тела за последнюю секунду движения. |
10 вариант №1. Известно, что пружина растягивается на 0,03м под действием силы 120Н. Найти работу, которую совершит сила при растяжении пружины на 0,2м. №2. Тело движется с переменной скоростью v(t)= t+5 в течении 3с. Найти перемещение тела за это время. |
11 вариант №1. Известно, что пружина растягивается на 0,01м под действием силы 300Н. Найти работу, которую совершит сила при растяжении пружины на 0,05м. №2. Тело движется с переменной скоростью v(t)=3t+3 в течении 6с. Найти перемещение тела за последние 4 секунды движения. |
12 вариант №1. Известно, что пружина растягивается на 0,06м под действием силы 1200Н. Найти работу, которую совершит сила при растяжении пружины на 0,2м. №2. Тело движется с переменной скоростью v(t)=3t+1 в течении 6с. Найти перемещение тела за последние 2 секунды движения. |
13 вариант №1. Известно, что пружина растягивается на 0,03м под действием силы 150Н. Найти работу, которую совершит сила при растяжении пружины на 0,06м. №2. Тело движется с переменной скоростью v(t)=7t+2 в течении 6с. Найти перемещение тела за последние 3 секунды движения. |
14 вариант №1. Известно, что пружина растягивается на 0,01м под действием силы 800Н. Найти работу, которую совершит сила при растяжении пружины на 0,05м. №2. Тело движется с переменной скоростью v(t)=4t+2 в течении 3с. Найти перемещение тела за последнюю секунду движения. |
15 вариант №1. Известно, что пружина растягивается на 0,01м под действием силы 100Н. Найти работу, которую совершит сила при растяжении пружины на 0,6м. №2. Тело движется с переменной скоростью v(t)=3t+1 в течении 9с. Найти перемещение тела за последние 3 секунды движения. |
Контрольные вопросы:
В чем заключается физический смысл определенного интеграла?
Перечислите физические приложения определенного интеграла?
Какой физический смысл имеет подынтегральная функция в формуле для вычисления работы?