8 Решение прикладных задач с помощью производной

Цель работы: научиться решать прикладные задачи с помощью производной.

Пример ВЫПОЛНения заданий

1. Тело движется прямолинейно по заданному закону .

1. Найти мгновенную скорость тела в момент времени секунду.

2. Найти ускорение тела в момент времени секунды.

3. Найти, через сколько секунд от начала отсчета мгновенная скорость тела будет равна =44м/с.

4. Найти, через сколько секунд от начала отсчета ускорение тела будет равно .

Решение:

1. Для нахождения скорости вычислим производную первого порядка . Тогда мгновенная скорость через 1 секунду .

2. Для нахождения ускорения вычислим вторую производную . Тогда через 2 секунды ускорение будет .

3. Для определения времени, по истечении которого скорость тела будет равна 44м/с необходимо решить уравнение . Получаем t=2 секунды.

4. Для определения времени, по истечении которого ускорение тела будет равно 22м/с² необходимо решить уравнение . Остается найти t.

Отметим, что если в Вашем варианте в соответствующей колонке стоит прочерк, значит этот пункт делать не надо.

2. Составить уравнение касательной к графику функции в точке (1;1).

Решение:

По условию задачи x₀=1 и f(x₀)=f₀=1. Уравнение касательной имеет вид

.

Таким образом, остается найти

Тогда уравнение касательной примет вид

Ход работы:

(согласно вариантам)

1. Тело движется прямолинейно по заданному закону S(t).

1. Найти мгновенную скорость тела в момент времени .

2. Найти ускорение тела в момент времени .

3. Найти, через сколько секунд от начала отсчета мгновенная скорость тела будет равна .

4. Найти, через сколько секунд от начала отсчета ускорение тела будет равно .

Тело движется прямолинейно по закону S(t)

№ варианта	S(t), (м)	t0 (с)	t1 (с)	v0 (м/с)	a (м/с2)
1		1	2	72 м/с	-
2		2	2	-	36 м/с2
3		1	3	-	5,6 м/с2
4		3	1	8 м/с	-
5		2	3	21 м/с	-
6		3	2	5 м/с	-
7		1	2	-	12 м/с2
8		2	2	32 м/с	-
9		3	3	-	24 м/с2
10		1	2	20 м/с	-
11		3	2	-	10 м/с2
12		3	2	20 м/с	-
13		2	1	-	24 м/с2
14		1	3	30 м/с	-
15		2	3	10 м/с	-

2. Составить уравнение касательной к графику функции f(x) в заданной точке.

№ варианта	f(x)	(x0,y0)
1		(-3;-6)
2		(1;1)
3		(5;5)
4		(3;21)
5		(1;3)
6		(-3;6)
7		(1;-3)
8		(1; 0)
9		(0;1)
10		(2;-3)
11		(1;-3)
12		(2;-4)
13		(1;-1)
14		(1;7)
15		(0;0)

Контрольные вопросы:

1. В чем заключается физический смысл производной?

2. Как найти мгновенную скорость в некоторый момент времени , если задан закон движения тела?

3. Как найти ускорение тела, если задан закон движения тела?

4. В чем заключается геометрический смысл производной?