2.4Функциональные отношения

Пусть   Х х Y.

Функциональное отношение – бинарное отношение   х  D_   y  Y: х  y .

Всюду определённое отношение – отношение, у которого D_ = Х ("нет одиноких х").

Сюръективное отношение – отношение, у которого J_ = Y ("нет одиноких y").

Инъективное отношение – отношение, в котором разным х соответствуют разные у.

Биекция − функциональное, всюду определённое, инъективное, сюръективное отношение. Оно задаёт взаимно однозначное соответствие множеств.

Пример:

Пусть  = { (x, y)  R² | y² + x² = 1, y > 0 }.

y

y² + x² = 1, y > 0

x

Отношение  функционально,

не всюду определено ("есть одинокие х "),

не инъективно (есть разные х, которым

соответствуют одинаковые у),

не сюръективно ("есть одинокие у "),

не биекция.

2.5Контрольные вопросы

1.Декартово или прямое произведение множеств.

2.Определение бинарного отношения.

3.Способы описания бинарных отношений.

4.Область определения и область значений.

5.Свойства бинарных отношений.

6.Отношение эквивалентности и классы эквивалентности.

7.Отношения порядка: строгого и нестрого, полного и частичного.

8.Классы вычетов по модулю m.

9.Функциональные отношения.

10. Инъекция, сюръекция, биекция.

3Основные понятия комбинаторики.

3.1Правила суммы и произведения

Важную роль при решении многих комбинаторных задач играют 2 правила: правило суммы и произведения.

Сформулируем эти правила с точки зрения теории множеств и комбинаторики.

3.1.1Правила суммы

• Теоретико – множественная формулировка

Пусть A – множество из m элементов; B – множество из n элемнтов. AB=. Тогда, объединение множеств: AB содержит m+n элементов.

В общем случае: Пусть |M₁|=m₁, |M₂|=m₂, …, |M_k| = m_k и M_i  M_j= i,j=1.. k, ij. Тогда, |M| = |M₁ M₂…M_k| = m₁+ m₂+…+ m_k.

• Комбинаторная формулировка

Если объект a может быть выбран m способами, а объект b – n другими способами, то выбор "a или b" может быть осуществлен m+n способами.

Выбор a и b – взаимоисключающий, выбор a исключает выбор b; выбор a не совпадает с каким-либо способом выбора b.

В общем случае:

Если объект a₁ может быть выбран m₁ способами; … a_k – m_k способами. Выбор "a₁ или a₂…или a_k " может быть осуществлен m₁ +m₂ +…+m_k способами.

Например: Из Киева в Донецк в течении суток отправляется 3 поезда, 1 самолет и 2 автобуса. Сколько существует способов выехать из Киева в Донецк?

Решение: По правилу суммы имеем N= 3+1+2 = 6 способов.

3.1.2Правило произведения

• Теоретико – множественная формулировка

Если A и B – конечные множества и |A|=m, |B|=n, то мощность множества AB равна mn.

В общем случае; если |M₁|=m₁, |M₂|=m₂, …, |M_k|=m_k, то |M₁M₂…M_k|= =m₁m₂…m_k.

• Комбинаторная формулировка

Если объект a может быть выбран m способами, и после этого объект b может быть выбран n способами, то выбор пары (a,b) может осуществляться mn способами (выбор a и b независимы).

В общем случае:

Пусть объект a₁ может быть выбран m₁ способом; объект a₂ – m₂ способами; … a_k – m_k способами, причем выбор a₁ не влияет на число способов выбора a₂ …a_k, выбор a₂ на число способов выбора a₃ …a_k, … Тогда, выбор упорядоченного множества объектов (a₁, a₂ …a_k) – в указанном порядке можно осуществить m₁ m₂_… m_k способами.

Например: Сколько различных танцующих пар можно составить из 3-х девушек и 2-х юношей?

Решение: По правилу произведения имеем N= 32=6 пар.