6.2Контрольная работа № 2.

Тема: Булева алгебра. Минимизация булевых функций.

Цель работы: изучение способов описания булевых функций, практическое применение законов алгебры логики, представление функций в различных базисах..

Задания:

1. По заданному варианту, составить таблицу истинности функции трех переменных F(x,y,z). Изобразить графически F(x,y,z) на кубе.

2. Определить множество фиктивных аргументов функции F(x,y,z) .

3. Построить ДСНФ и КСНФ.

4. Используя законы алгебры логики, пошагово преобразовать заданную функцию в ДНФ. Построить таблицу истинности.

5. Наиболее простую аналитическую форму перевести в базисы {,}, {,&}, {|}, {} и сравнить с заданной функцией, построив таблицу истинности.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

6. Минимизировать функцию трех переменных F(x,y,z) c использованием куба.Функция F(x,y,z) задана выше.

7. Сгенерировать по указанному ниже алгоритму функции Q(x₁, x₂, x₃, x₄), R(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅) и S(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅).

8. Минимизировать функцию четырех переменных Q(x₁,x₂,x₃,x₄) c использованием куба, карт Карно и метода Квайна – Мак-Класки.

9. Минимизировать функцию пяти переменных R(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅) c использованием карт Карно и метода Квайна – Мак-Класки.

10. Минимизировать не полностью определеннные функции W(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅) пяти переменных и P(x₁,x₂,x₃,x₄ ,x5) пяти переменных c использованием карт Карно.

6.3Алгоритм генерации варианта

Записать строку S =<ФИО>.Удалить в строке S повторяющиеся буквы. Пронумеровать все буквы получившейся строки таким образом, что n(S_i) − номер буквы в русском алфавите.

Для генерации функции Q(x₁,x₂,x₃,x₄) оставить первые 7 неповторяющихся чисел, полученных после преобразования n(S_i) = n(S_i) mod 16. Полученные значения определяют единичные наборы функции Q(x₁,x₂,x₃,x₄).

Для генерации функции R(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅) оставить первые 11 неповторяющихся чисел, полученных после преобразования n(S_i) = n(S_i) mod 32. Полученные значения определяют единичные наборы функции R(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅).

Для генерации функции W(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅) оставить первые 11 неповторяющихся чисел, полученных после преобразования n(S_i) = n(S_i) mod 32. Первые 6 из этих 11 значений определяют единичные наборы функции W(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅), а значения с 7 по 11 − задают наборы функции, на которых она неопределена.

Для генерации функции Р(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅) оставить первые 11 неповторяющихся чисел, полученных после преобразования n(S_i) = n(S_i) mod 16. Первые 5 из этих 11 значений определяют единичные наборы функции Р(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅), а значения с 6 по 11 − задают наборы функции, на которых она неопределена.

7Примеры решения типовых зданий.

7.1Контрольная работа №1.

Задание 1. Способы задания множеств. Операции над множествами.

ФИО студента: Широкова Екатерина Алексеевна.

Исходные данные:

A = {е, к, а, т, р, и, н}

B = {а, л, е, к, с, в, н}

C = {ш, и, р, к, о, в, а}

V = {а, б, в, г, д, е, ë, ж, з, и, й, к, л, м, н, о, п, р, с, т, у, ф, х, ц, ч, ш, щ, ь, ы, ъ, э, ю, я}

• АВ = {а, е, к, н}

• АС = {к, а, р, и,}

• ВС = {а, в, к}

• АВС = {а, к}

• АВ = {е, к, а, т, р, и, н, л, с, в}

• АС = {е, к, а, т, р, и, н, ш, о, в}

• ВС = {е, к, а, р, и, н, л, с, в, ш, о}

• АВС = {е, к, а, р, и, н, л, с, в, ш, о, т}

• А \ В ={и, р, т }

• В \ А ={с, л, в,}

• А \ С = {т, е, н}

• В \ С = {е, л, н, с}

• С \ А ={в, о, ш}

• С \ В ={и, о, р, ш}

• A = {б, в, г, д, ë, ж, з, й, л, м, о, п, с, у, ф, х, ц, ч, ш, щ, ь, ы, ъ, э, ю, я}

• В = {б, г, д, ë, ж, з, и, й, м, о, п, р, т, у, ф, х, ц, ч, ш, щ, ь, ы, ъ, э, ю, я}

• С = {б, г, д, е, ë, ж, з, й, л, м, н, п, с, т, у, ф, х, ц, ч, щ, ь, ы, ъ, э, ю, я}

• А А = 

• В В = V

• А С = {а, е, к, и, н, р, т, б, г, д, ж, з, л, м, п, с, у, ф, х, ц,ч, ш, щ, ь, ы, ъ, э, ю, я}

• А  В = {в, и, л, р, с, т}

• А  С = {в, е, н, о, ш, т}

• В  С = {е, и, л, н, о, р, с, ш}

• С  А = А  С

• (А  С) В = {а, к, б, г, д, ж, з, и, м, о, п, р, т, у, ф, х, ц, ч, ш, щ, ь, ы, ъ, э, ю, я}

• А  (В  С) = {в, а, е, к, и, н, р, т}

• (АВ)  (АС) = {в, а, е, к, и, н, р, т} = А  (В  С)

• (А – С)  (В – С) = {е, л, т, с, н}

Задание 2. Диаграммы Эйлера-Венна.

А ВС (А  С) В (А – С)(В – С)

Задание 3. Основные соотношения алгебры множеств.

а. = А В

= {б, в, г, д, ж, з, и, л, м, о, п, р, с, т, у…я}

А В = {б, в, г, д, ж, з, и, л, м, о, п, р, с, т, у…я}

b. = А В

= {б, г, д, ж, з, м, о, п, у…я}

А В = {б, г, д, ж, з, м, о, п, у…я}

c. А – (ВС) =(А – В) (А – С)

А – (ВС) = {т}

(А – В) (А – С) = {т}

d. А – (ВС) = (А – В)(А – С)

А – (ВС) = {е, и, н, р, т}

(А – В)(А – С) = {и, р, т, е, н, }

Задание 4. Доказать тождества, используя отношения принадлежности. Продемонстрировать тождества на диаграммах Эйлера-Венна.

1,2 3 –а 3 –в

Задание 5. Прямое произведение множеств.

Исходные данные:

N₁ = {2,0,5,9}

N₂ = {2,0}

a. N₁ N₂ = {(0,0), (0,2), (2,0), (2,2), (5,0), (5,2), (9,0), (9,2)}

b. N₂ N₁ = {(0,0), (0,2), (0,5), (0,9), (2,0), (2,2), (2,5), (2,9)}

1. G =(N₁ N₂)(N₂ N₁) = {(0,0), (0,2), (2,0), (2,2)}

2. F = (N₁ N₂) (N₂ N₁).

N₁ N₂ = N₂ N₁ = N₂ = {2,0}

F = {(0,0), (0,2), (2,0), (2,2)}

G = F

3. A = (N₁ N₂)(N₂ N₁) ={(0,0), (0,2), (2,0), (2,2), (5,0), (5,2), (9,0), (9,2), (0,5), (0,9), (2,5), (2,9)}

4. B = (N₁ N₂) (N₂ N₁).

N₁ N₂ = N₂ N₁ = N₁ = {2, 0, 5, 9}

5. B = {(0,0), (0,2), (2,0), (2,2), (5,0), (5,2), (9,0), (9,2), (0,5), (0,9), (2,5), (2,9), (5,5), (5,9), (9,5), (9,9)}

A B; AB

Задание 6. Определить свойства следующих отношений ₁ и ₁ на множестве N₁ N₂, где N₁ = {2,0,5,9}, N₂ = {2,0}:

₁ = {(n, m) | n – четно, m – нечетно} (считаем, что 0 – четно).

₁ =

₁ = {(n, m) | n – нечетно, m – четно}

 ₁ = {(5,0), (5,2), (9,0), (9,2)}

₂ = {(n, m) | n – четно, m – четно}

₂ = {(0,0), (0,2), (2,0), (2,2)}

₃ = {(n, m) | m>=n }

₃ = {(0,0), (2,0), (2,2), (5,0), (5,2), (9,0), (9,2)}

₁ = полное = N₁ N₂

₂ = {(5,0), (5,2), (9,0), (9,2)}

₃ = {(0,2)}

2	n\m	0	2	5	9	3	n\m	0	2	5	9
	0	1	1	0	0		0	1	0	1	1
	2	1	1	0	0		2	1	1	1	1
	5	0	0	0	0		5	0	0	0	0
	9	0	0	0	0		9	0	0	0	0

₁ – нерефлексивно, антирефлексивно, симметрично, антисимметрично, транзитивно.

₂ – нерефлексивно, не антирефлексивно, симметрично, не антисимметрично, транзитивно.

₃ – нерефлексивно, не антирефлексивно, несимметрично, антисимметрично, нетранзитивно.

Задание 7.

	Рефлексивно	Не рефлексивно	Антирефлексивно	Симметрично	Несимметрично	Антисимметрично	Транзитивно	Отношение порядка	Отношение эквивалентности
1 = 	–	+	+	+	+	+	+	–	–
2 = {(а,a), (a,b), (b,a), (b,b)}	+	–	–	+	–	–	+	–	+
3 = {(а,a)}	–	+	–	+	+	+	+	–	–
4 = {(a,b)}	–	+	+	–	+	+	+	–	–
5 = (b,a)}	–	+	+	–	+	+	+	–	–
6 = {(b,b)}	–	+	–	+	+	+	+	–	–
7 = {(а,a), (a,b)}	–	+	–	–	+	+	+	–	–
8 = {(а,a), (b,a)}	–	+	–	–	+	+	+	–	–
9 = {(а,a), (b,b)}	+	–	–	+	–	+	+	+	+
10 = {(a,b), (b,a)}	–	+	+	+	–	–	–	–	–
11 = {(a,b), (b,b)}	–	+	–	–	+	+	+	–	–
12 = {(b,a), (b,b)}	–	+	–	–	+	+	+	–	–
13 = {(а,a), (a,b), (b,a)}	–	+	–	+	–	–	–	–	–
14 = {(а,a), (a,b), (b,b)}	+	–	–	–	+	+	+	+	–
15 = {(а,a), (b,a), (b,b)}	+	–	–	–	+	+	+	+	–
16 = {(a,b), (b,a), (b,b)}	–	+	–	+	–	–	–	–	–

_9, _14, ₁₅ – отношения частичного порядка.

₉, ₂ – отношения эквивалентности:

Задание 8.

Исходные данные:

А = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}

 = {(m, n) | (m – n) – делится нацело на 3}

 = {(m, n) | m <= n}

D_ = D_ = Z – “0” (отрицательные и положительные без 0)

A² = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3) (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

 = {(1,4), (2,5), (3,6), (4,1), (5,2), (6,3)}

 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6)}

^-1 = {(m, n) | (m – n) – не делится нацело на 3}

^-1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,3) (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,4), (6,5), (6,6)}

 ={(1,4), (1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,2), (5,3) (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

^-1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3) (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

= {(4,1)}

	Рефлексивно	Не рефлексивно	Антирефлексивно	Симметрично	Несимметрично	Антисимметрично	Транзитивно	Отношение порядка	Отношение эквивалентности
	–	+	+	+	–	–	–	–	–
	+	–	–	–	+	+	+	+	–
-1	+	–	–	+	–	–	–	–	–
	–	+	–	–	+	–	–	–	–
-1	+	–	–	–	+	–	–	–	–