МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ДОНЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ»
(Часть 1)
Донецк-2001
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ДОНЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ»
(Часть 1)
для студентов специальностей 080403, 080404
«Программное обеспечение автоматизированных систем»
"Интеллектуальные системы принятия решений"
заочной формы обучения
Утверждено:
на заседании кафедры программного
обеспечения интеллектуальных систем
протокол № 1 от 30 августа 2001г.
на заседании ученого совета ДонГИИИ
протокол № 2 от 29 октября 2001г.
Донецк-2001
Методические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Основы дискретной математики» для студентов специальностей 080403 «Программное обеспечение автоматизированных систем» и 080404 "Интеллектуальные системы принятия решений" заочной формы обучения /Сост.:-К.А.Ручкин,-И.А.Назарова.,-О.А.Суханова Донецк: ДонГИИИ, 2001.-80с.
Изложены теоретические основы по следующим разделам дискретной математики: введение в теорию множеств, отношения на множествах, введение в комбинаторику, булева алгебра, минимизация булевых функций. Содержатся рекомендации по изучению теоретического материала, контрольные вопросы, рекомендуемая литература, задания для контрольных работ и примеры их выполнения.
Составители: доц.,к.ф.-м.н., К.А.Ручкин,
ст.преп. И.А.Назарова,
ст.преп. О.А.Суханова.
Рецензент: с.н.с., к.ф.-м.н., .И.С. Грунский
1Введение в теорию множеств
1.1Основные определения
Понятия множество и элемент выбираются в качестве исходных, поэтому им не даётся строгое математическое определение. Принято считать, что множество представляет собой объединение в одно целое различимых между собой элементов. Таким образом, синонимами слова "множество" являются слова "совокупность", "класс", "коллекция", "собрание", "список" и т.д. Для обозначения множеств и их элементов будем использовать латинские буквы, а именно: прописные буквы для обозначения множеств и строчные буквы для обозначения элементов. В случае необходимости при обозначении будем использовать индексы. Таким образом будут использоваться следующие обозначения
для множеств:
,
и для элементов:
Утверждение " а является элементом множества А" записывается в виде аА, а утверждение " а не является элементом множества А" − в виде аА, (в случае аА говорят также, что а принадлежит А, а в случае аА, − что а не принадлежит А).
Множества Х и Y называются равными (обозначается X=Y), если они состоят из одних и тех же элементов.
Из этого определения вытекает, что:
X=X для любого множества Х;
Х=Y Y=X для любых множеств Х и ;
Х= и = Х= для любых множеств Х, , .
Запись Х означает, что множества и не равны, т.е. что существует элемент, принадлежащий одному из этих множеств и не принадлежащий другому.
Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Все пустые множества равны друг другу, в силу чего для обозначения любого пустого множества используется один и тот же символ (т.е. вводится стандартное обозначение пустого множества).
Если каждый элемент множества Х является также элементом множества , то говорят, что Х содержится или включается в . В этом случае пишут . Таким образом:
Х х х для всех х .
Из этого определения вытекает:
ХХ для любого множества Х;
Х и Х= для любых множеств Х, ;
Х и для любых множеств X, Y, Z;
X для любого множества Х.
ва Х= достаточно показать справедливость двух включений — и .
Множество Х называется подмножеством множества , если .
Из (1.5) и (1.9) следует, что для любого множества Х подмножествами являются пустое множество и само Х.
Эти подмножества принято называть несобственными, а все отличные от них подмножества — собственными.
В тех случаях, когда одновременно имеют место соотношения Х и Х (причем последнее особенно хотят подчеркнуть в явном виде), говорят, что строго включается в , и используют запись Х.
Таким образом:
Х и .
Из этого определения вытекает:
для любого множества Х не верно, что Х Х;
для любого множества Х;
Х и для любых множеств .
Замечание 1.2 В силу (1.10) для доказательства строгого включения достаточно установить справедливость включения Х и, кроме того, показать, что существует элемент множества , не принадлежащий множеству Х.
При работе с множествами используют и включения и , определяемые следующим образом:
;
Х ,
а также записи, означающие, что нет места всем вышеперечисленным включениям.
Множество,
состоящее
из конечного числа элементов, называется
конечным ,
а множество, состоящее из бесконечного
числа элементов,— бесконечным.
Конечное
множество
может быть задано перечислением всех
его элементов. Для этого используется
запись
,
т.е. все принадлежащие
элементы записываются в
произвольном порядке
в явном виде и заключаются в фигурные
скобки. Такая запись является громоздкой,
если n
достаточно велико и вообще неприемлимой,
если множество состоит из бесконечного
числа элементов. В этих случаях множество
может быть задано с помощью
характеристического
свойства,
т.е. свойства, которыми обладает каждый
элемент этого множества и не обладает
ни один элемент, не принадлежащий
множеству. Если Р(х) − характеристическое
свойство множества Х, то используется
запись Х=х
Р(х) .
Пример 1. Пусть А=3,6, В=2,4,6,8, Х=ххи х 2, =у уи у 2 и у 3 и z z и z 6 (где запись ab означает утверждение "число a делится на число b"). Тогда А, , , , , .
Замечание 1.3 В дальнейшем вместо записи вида Х=х х и Р(х) будет использоваться более компактная запись Х=хА Р(х)
Множество − объединение в одно целое различимых между собой элементов по сходному признаку.
Конечное множество − множество, состоящее из конечного числа элементов.
Бесконечное множество − множество, состоящее из бесконечного числа элементов.