Побудова перерізів

Метод слідів

Література:

1. Бевз Г.П. Методика викладання математики: Навч. посібник. – К.: Вища школа, 1989. – 367 с.

2. Погорєлов О.В. Геометрія: Стереометрія: Підручн. для 10-11 кл. серед. шк. – 2-ге вид. – К.: Освіта, 1995. – 128 с.

3. Роєва Т.Г., Хроленко Н.Ф. Геометрія в таблицях. 10-11 клас: Навч. посібник. – Х.: Країна мрій, 2002. – 152 с.

4. Слєпкань З.І. Методика викладання математики. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2006. – 640 с.

Тема: Методика вивчення теми: «Взаємне розміщення прямих і площин. Зображення просторових фігур».

1. Паралельність прямих і площин.

1. Перпендикулярність прямих і площин.

2. Зображення просторових фігур на площині.

Знання про взаємне розміщення прямих і площин лежать в основі вивчення властивостей геометричних фігур як в планіметрії, таке і в стереометрії.

Вивчення взаємного розміщення прямих і площин в шкільному курсі математики можна поділити на три етапи:

• підготовча (пропедевтична) робота по ознайомленню учнів з взаємним розташуванням прямих на площині і деякими просторовими фігурами в 1-6 класах;

• систематичне вивчення взаємного розташування прямих на площині в 7-9 класах;

• систематичне ви вчення взаємного розташування прямих і площин в просторі в 10-11 класах.

Підготовчий етап в вивченні взаємного розташування прямих на площині відіграє важливу роль в збагаченні життєвого досвіду учнів, в накопиченні необхідного фактичного наочного матеріалу, який є базою для вивчення матеріалу на наступному етапі навчання.

Паралельність прямих і площин.

В дев'ятирічній школі розглядають основні питання теорії паралельності, яка викладається без належної повноти і строгості, але утворює достатню базу для розгляду паралельності в просторі. Учення про паралельність прямих в курсі планіметрії можна розділити на слідуючі частини:

• означення паралельних прямих;

• існування паралельних прямих;

• побудова паралельних прямих;

• аксіома паралельних;

• властивості паралельних прямих;

• ознаки паралельних прямих;

• застосування вивченої теорії.

Різко окреслених меж між виділеними частинами не може бути, останній розділ, безперечно, присутній в усіх попередніх.

Формулювання означень паралельних прямих в навчальних посібниках, як і підходи до їх вивчення різні.

Дві прямі називаються паралельними, якщо вони:

1. лежать в одній площині;

2. не перетинаються;

3. не мають спільних точок.

Перша трактовка паралельності прямих, які лежать на площині, найбільш широка, ніж друга, що вона включає в себе окрім паралельності в смислі другої трактовки, ще і принадлежність прямої до площини. В діючих підручниках з геометрії розглядається перша трактовка паралельності прямих. Питання існування паралельних прямих також розв'язується по-різному. Виділяються два підходи:

1. розглядається спеціальна теорема, показуюча існування паралельних прямих, а потім дається аксіома паралельних (Атанасян Л.С. і ін.);

2. розглядається аксіома паралельних прямих, о потім доводиться теорема, показуюча існування таких прямих (Погорєлов О.В.).

Існування паралельних прямих обґрунтовується в посібниках з геометрії двома шляхами, а саме: на основі центральної симетрії або на основі властивостей кутів, утворених при перетині двох прямих третьою (Погорелов О.В., Бевз Г.П., Атанасян Л.С.).

В практиці школи велике поширення одержали обгрунтування ознаків паралельності прямих на основі порівняння кутів, утворених при перетині двох прямих третьою.

За змістом задачі цієї теми поділяються на три групи:

• задачі на пряме застосування аксіоми паралельності;

• задачі на застосування ознак паралельності прямих;

• задачі на застосування теорем, обернених ознакам паралельності прямих.

Паралельність в просторі

В шкільному курсі геометрії (стереометрії) тема "Паралельність в просторі" складається із чотирьох самостійних частин, а саме:

• паралельність прямих в просторі, мимобіжні прямі;

• паралельність прямої і площини;

• паралельність площин в просторі;

• паралельна проекція і її властивості, зображення просторових фігур на площині.

В діючих підручниках з геометрії (стереометрії) розглядається означення паралельних прямих: "Дві прямі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються".

Вивчення паралельності прямих в просторі проводиться на базі повторення курсу відповідного розділу планіметрії.

Основні питання систематизації знань учнів при вивченні паралельних прямих в просторі:

співставлення означень паралельних прямих на площині і в просторі, паралельні прямі в оточуючій дійсності;

• аксіома паралельності прямих і історична довідка;

• теорема існування і єдиності прямої паралельної даній;

• дві ознаки паралельності прямих, метод, план, доведення;

• систематизація способів побудови паралельних прямих;

• властивість транзитивності паралельності прямих;

• система достатніх умов для обгрунтування паралельності прямих.

Можлива методична схема ви вчення паралельних і мимобіжних

прямих в просторі: 1) повідомити означення; 2) проілюструвати це поняття на моделях просторових фігур, на малюнках; 3) провести логічний аналіз формулювання означення; 4) виконати завдання на знаходження паралельних і мимобіжних прямих на моделях просторових геометричних фігур; 5) супроводження показу паралельних і мимобіжних прямих відповідними обгрунтуваннями; 6) виділити опорні задачі даної теми.

Паралельність прямої і площини

Формулювання означень паралельності прямої і площини в навчальних посібниках, так же як і підходи до вивчення різні.

Головне, суттєве в темі: означення паралельності прямої і площини, ознака паралельності прямої і площини і опорні (базові) задачі.

Методику вивчення теорем і їх доведення розглянемо на прикладі ознаки паралельності прямої і площини: "Якщо пряма, яке не лежить у площині, паралельна якій-небудь прямій цієї площини, то вона паралельна і самій площині". Скористуємося наступною методичної схемою: 1) підвести учнів до теореми, сформулювати її; 2) виконати: логічний аналіз теореми, малюнок, короткий запис теореми; 3) вказати ідею доведення; 4) привести план доведення; 5) дати можливість учням самостійно здійснити доведення або самому довести теорему; 6) закріпити доведення шляхом його відтворення; 7) застосувати теорему до розв'язання задач.

В процесі цього розділу на основі означення і властивостей паралельної проекції необхідно навчити учнів: зображувати просторові фігури на площині; розв'язувати задачі на побудову перерізів многогранників (призм і пірамід) площиною методом слідів.

Паралельність площин

Формулювання означень паралельності площин в навчальних посібниках, також як підходи до вивчення різні.

Дві площини називаються паралельними, якщо вони:

1) не мають спільної точки 2) не перетинаються

(Атанасян Л.С.) (Погорелов О.С., Бевз Г.П.)

Із означення паралельності площин, однак не слідує існування паралельних площин. Існування доводиться наступною теоремою.

Теорема. Існує єдина площина, яка проходить через точку, яка не належить даній площині, і паралельна цій площині.

Доведення цієї теореми служить одночасно і доведенням достатності основної ознаки паралельності площин, яке виражається наступною теоремою. Для того, щоб дві площини були паралельні, необхідно і достатньо, щоб дві прямі, які перетинаються і лежать в одній площині, були паралельні двом прямим другої площини. Відповідно другої траковки паралельності, площина вважається паралельна площині, якщо вона її не перетинає. Ця трактовка більш широка, бо вона включає в себе, окрім паралельності в смислі першої трактовки ще й збіг площин.

В діючих підручниках з геометрії доводяться теореми: ознака паралельності двох площин (методом від супротивного), властивості паралельних площин, стосовно існування площини, паралельної даній, але в геометрії О.В. Погорєлова це теорема, а геометрія Г.П. Бевза- задача.

Головне, суттєве в темі: означення паралельності площин, ознака паралельності площин і опорні (базові) задачі.

В тему "Паралельність прямих і площин" входить розділ про паралельні проекції та їх властивості, який носить сугубо практичний характер і є благодатним матеріалом для розвитку просторової уяви і уявлень учнів.

Поняття паралельного проектування вводиться за допомогою генетичного означення. Властивості паралельного проектування випливають із теорем, які доводяться.

Достатні умови паралельності прямих, прямих і площин, площин:

- ознаки паралельності прямих, площин, прямих і площин, які доводяться методом від супротивного;

умова колініарності векторів: а//b , якщо a = kb'

• властивість деяких перетворень зберігати паралельність прямих і площин: паралельне перенесення, центральна симетрія, гомотетія;

• властивість деяких фігур мати паралельні відрізки: завжди паралельні протилежні сторони паралелограма, бокові ребра призми, середні лінії трикутника і трапеції паралельні до своїх основ;

- алгебраїчні умови паралельності прямих, площин.

Перпендикулярність прямих на площині.

Основою учення про перпендикулярність прямих в середній школі є поняття кута між прямими і уміння вимірювати величину кута. Вводяться означення перпендикулярних прямих, перпендикуляра до даної прямої. Важливо звернути увагу на відмінність понять перпендикулярні прямі і перпендикуляр до даної прямої. Перлендикуляр до даної прямої є відрізок, один кінець якого лежить на прямій, до якої він перпендикулярний. Існування перпендикулярних прямих показується конструктивно. Доведення єдиності перпендикуляра до прямої, який проходить через дану точку, може спиратися на різні положення.

В підручнику Погорєлова О.В. [159] при доведенні єдиності використовують аксіоми відкладування кутів, а в інших, зокрема в підручнику Бевза В.Г. [12] при доведенні єдиності перпендикуляра до прямої використовують положення про те, що в трикутнику не може бути двох прямих кутів.

В розділі про перпендикулярність прямих на площині розглядається поняття похилої до даної прямої. Особливо розглядається випадок про перпендикуляр і похилі до даної прямої, які проходять через точку поза нею, бо в одному випадку перпендикуляр і похилі виступають як геометричні фігури - прямі, а в іншому - як величини. Це робиться для короткості формулювань теорем, які розкривають властивості перпендикуляра і похилих, проведених із однієї і тієї ж точки до однієї і тієї ж прямої.

Перпендикулярність в просторі.

Всю тему умовно поділяють на три частини:

• перпендикулярність прямих в просторі;

• перпендикулярність прямої і площини;

• перпендикулярність площин.

В процесі вивчення кожної із вказаних частин потрібно виходити із загальної схеми взаємного розташування прямих і площин, з якою учні познайомилися на початку курсу стереометрії при вивченні паралельності в просторі.

Ця тема має великий прикладний характер, а тому при вивченні особливу увагу потрібно приділити розв'язанню задач; в задачах бажано використовувати многогранники (призми і піраміди) з метою підготовки учнів до вивчення відповідного розділу в курсі стереометрії 11 класу.

В навчальних посібниках по стереометрії прийняті різні означення перпендикулярності прямої до площини.

В діючих підручниках по геометрії (стереометрія) прийнято означення перпендикулярності прямої до площини "Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до кожної прямої, яка лежить у площині і проходить через точку перетину". В зв'язку з цим ознака перпендикулярності прямої до площини формулюється наступним чином: "Якщо пряма перпендикулярна до двох перетинаючих прямих цієї площині, то вона перпендикулярна і до площини" (О.В. Погорєлов). Доведення основане на застосуванні ознак рівності трикутників. Доведення досить громіздке. Методична схема вивчення ознаки перпендикулярності прямої до площини може бути такою: 1) підвести учнів до ознаки, сформулювати його; 2) виконати логічний аналіз ознаки, малюнок, короткий запис; 3) повідомити ідею доведення (в загальних рисах); 4)виконати додаткові побудови; 5) сформулювати ідею доведення в більш конкретній формі; 6) вказати план доведення; 7) закріпити доведення по частинам; 8) відтворити доведення повністю.

Ознака перпендикулярності прямої до площини лежить в основі побудови прямої, перпендикулярної до даної площини і площини перпендикулярної до даної прямої. На основі перпендикулярності прямої до площини вводяться поняття: "відстань від точки до площини", "кут між прямою і площиною". Розглядаються властивості перпендикулярності прямої і площини, а також доводиться теорема про три перпендикуляри. Ця теорема заключає в собі необхідну і достатню умови перпендикулярності прямої, що лежить в площині, тому необхідні і достатні умови потрібно розглядати як окремі теореми (відповідно пряму і обернену теореми). В подальшому, після вивчення векторів, теорему про три перпендикуляри можна довести векторним методом.

Слід зауважити, що опорні (базові) задачі з теми бажано вказувати відповідно наступних питань: означення перпендикулярності прямої і площини, ознака перпендикулярності прямої і площини, перпендикуляр і похила.

Перпендикулярність площин.

Існують різні підходи до вивчення перпендикулярних площин. Так, в підручниках А.С. Атанасяна і ін., Г.П. Бевза і ін. спочатку вводиться поняття двогранного кута, а потім на цій основі дається означення перпендикулярних площин. По іншому в підручнику О.В. Погорєлова, тут кут між площинами розглядається як кут між прямими, одержаними при перетині двох площин третьою площиною, перпендикулярною лінії їх перетину. Такий підхід до вивчення перпендикулярних площин дозволяє на цій стадії навчання уникнути введення новою поняття - двогранного кута, яке для учнів є не зовсім простим. В цьому випадку означення перпендикулярності площин "Дві площини, що перетинаються, називають перпендикулярними, якщо третя площина перпендикулярна до прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярним прямим".

Існування перпендикулярних площин в цих випадках може бути показано конструктивно, відразу після введення означення цього поняття.

Основні питання теми: означення перпендикулярності площин; ознака перпендикулярності площин; побудова перпендикулярних площин; розв'язування задач на використання означення і ознаки перпендикулярності площин.

Достатні умови перпендикулярності прямих, прямих і площин, площин

1. Означення: перпендикулярних прямих, перпендикулярності прямої і площини, перпендикулярності площин.

2. Ознаки перпендикулярності прямої і площини, площин.

3. Умова перпендикулярності векторів:

4. Якщо фігури одержані в результаті руху або гомотетії перпендикулярних прямих, площин, то перпендикулярність їх елементів зберігається.

5. Залежність між паралельністю і перпендикулярністю.

6. Алгебраїчні умови перпендикулярності прямих:

Зображення просторових фігур на площині.

Виконуючи зображення просторових фігур на площині, викорис­товують два види паралельної проекції:

1. косокутну – проектуваль­ні прямі нахилені під довільним кутом до площини зображень;

2. пря­мокутну (ортогональну) – проектувальні промені перпендикулярні до площини зображень.

Зображенням квадрата, прямо­кутника, ромба, паралелограма в довільній косокутній проекції може бути довільний паралелограм. Зображенням трапеції також є трапеція, причому з певним відношенням основ, якщо це відношення задане.

У правильному п’ятикутнику ABCDE (рис. 3) діагоналі AC і BD паралельні відповідно сторонам DE і AE і, крім того, діляться точкою Р у наближеному відношенні 3:2.

рис. 3

Звідси випливає спосіб побудови зображення правильного п’ятикутника: будуємо довільний паралелограм , на продовженні його сторін і відкладаємо відрізки і (рис. 4).

рис. 4

Коло в ортогональній проекції має вигляд симетричного відносно горизонтального діаметра еліпса (рис. 5).

рис. 5

Для побудови зображень двох взаємно перпендикулярних діа­метрів за перший діаметр АВ зручно обрати той, який розміщений приблизно під кутом 10° до горизонтального діаметра. Для побудови зображення діаметра, перпендикулярного до першого, досить скорис­татися властивістю хорд, паралельних діаметру: вони діляться навпіл діаметром, перпендикулярним до заданого. Отже, досить провести довільну хорду, паралельну діаметру АВ (рис. 6), розділити її навпіл і через точку поділу та центр еліпса провести діаметр СD. Відрізок СD і є зображенням діаметра, перпендикулярного до діамет­ра АВ.

рис. 6

Для побудови в ортогональній проекції зображень вписаного й опи­саного квадратів досить сполучити кінці діаметрів у першому випадку і провести дотичні в кінцях діаметрів — у другому (рис. 7).

рис. 7

Побудова зображень правильних вписаних і описаних трикутників:

1. виконуємо зображення еліпса і двох взаємно перпендикулярних діаметрів АВ і СD (рис. 8) способом, розглянутим вище;

2. про­водимо хорду ЕF через середину одного з радіусів паралельно діамет­ру АВ;

3. сполучаємо кінці хорди ЕF з кінцем C діаметра.

Трикутник ЕСF є зображенням правильного вписаного в коло трикутника в ортогональній проекції.

рис. 8

Ортогональну проекцію правильного описаного трикутника легко виконати, якщо відкласти на продовженні будь-якої з висот вписаного трикутника відрізок, який дорівнює висоті, та провести через отриману точку Р і дві інші вершини Е і F вписаного трикутника дотичні. Тре­тю дотичну проводять через третю вершину вписаного трикутника паралельно його протилежній сто­роні. Можна також, відклавши на одній з побудованих дотичних (на­приклад, РЕ) відрізок ЕМ = РЕ, провести дотичну через точки М і С.