Література:

1. Алгебра і початки аналізу. Підруч для 10-11 кл. серед, шк./ А. М. Колмогоров, О. М. Абрамов, та ін.; За ред. А. М. Колмогорова. - К.: Освіта, 1992. - 350 с.

2. Алгебра й начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / Ш. А. Ли­мов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. - М.: Просвещение, 1993.-254с

3. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 1992.- 350 с.

4. Бевз Г. П. Методика викладання математики: Навч. посібник.- 3-тє вид., перероб. і доп. - К.: Вища шк., 1989.- 367 с.

5. Шкіль М., Слєпкань 3. І., Дубинчук О. С. Алгебра і початки аналі­зу: Проби, підруч. для 10-11 кл. серед, шк. - К.: Зодіак-ЕКО, 1995.- 608с.

Тема: Методика вивчення теми: «Рівняння і нерівності та їх системи». Формування умінь розв’язувати рівняння і нерівності.

1. Місце в програмі. Вимоги до знань і умінь.

2. Способів розв’язування різних видів рівнянь та їх систем.

3. Види рівнянь.

4. Способи розв’язування нерівностей з однією змінною.

5. Види нерівностей.

6. Формування умінь і навичок розв'язування рівнянь і нерівностей.

Місце в програмі. Вимоги до знань і умінь.

Найпростіші лінійні рівняння і задачі на складання рівнянь учні розв'язують уже в 1-6 класах. Основний спосіб розв'язування ґрунтується на використанні залежності між компонентами і результатами арифметичних дій, а в 6 класі рів­няння розв'язуються перенесенням членів з однієї частини в другу.

У 7 класі в курсі алгебри основної школи учні далі роз­в'язують такі рівняння. Водночас роблять певні узагальнення. Вводиться означення лінійного рівняння з одним невідомим че­рез його загальний вигляд ах = b і досліджується питання кілько­сті коренів залежно від коефіцієнта а і вільного члена b.

Учні розв'язують текстові задачі за допомогою лінійних рів­нянь. Далі такі рівняння розв'язуються у зв'язку з вивченням то­тожних перетворень цілих виразів і застосуванням їх.

При множенні одночлена на многочлен і розкладанні, много­членів на множники з'являються перші неповні квадратні рівнян­ня (хоча відповідна назва ще не вводиться). Учні розв'язують також рівняння, до складу яких входять дроби, знаменники яких -числа. Після перетворення вони зводяться до лінійних рівнянь. На завершення курсу алгебри 7 класу вводиться поняття про лі­нійне рівняння з двома невідомими, його графік, систему ліній­них рівнянь з двома невідомими і способи їх розв'язування.

Систематичне вивчення квадратних рівнянь передбачене у 8 класі. Після цього розв'язують дробові раціональні рівняння, які зводяться до квадратних.

У 9 класі вивчаються біквадратні рівняння та системи рівнянь другого степеня. Вивчення кожного нового виду рівнянь і їх сис­тем супроводиться розв'язуванням текстових задач на складання рівнянь.

Систематичне вивчення числових нерівностей з однією змін­ною та їхніх систем передбачено у 8 класі, хоча з найпростішими числовими нерівностями учні мали справу в попередніх класах, порівнюючи числа і числові вирази.

Курс алгебри і початків аналізу передбачає навчити учнів розв'язувати трансцендентні рівняння і нерівності (тригонометричні, по­казникові, логарифмічні) та ірраціональні рівняння і нерівності. Це пов'язується з вивченням властивостей відповідних функцій.

Рівняння (нерівності) ) називається алгебраїчним, якщо - алгебраїчні функції; трансцендентними, якщо хоч одна із функцій трансцендентна; раціональним алгебраїчним (або просто раціональним), якщо алгебраїчні функції цілі раціональні; дробово-раціональним, якщо хоч одна із раціональних функцій дробово-раціональна; ірраціональним алгебраїчним (або просто ірраціональним), якщо хоч одна із алгебраїчних функцій ірраціональні.

Способів розв’язування різних видів рівнянь та їх систем.

Відповідно до діяльнісного підходу до навчання орієнтовну основу розв'язування різновидів рівнянь доцільно подати у вигляді алгоритмів.

Загальну схему розв’язування рівнянь з одним невідомим, що зводяться до лінійних, варто дати учням ще в 6 класі, коли вони ознайом­ляться з властивістю рівнянь, яка дає змогу переносити члени рівняння з однієї частини до другої. Ця схема виглядатиме так: спростити рівняння; перенести доданки, що містять невідоме, в одну частину, а доданки, що не містять невідомої, - в другу, змінивши в цьому разі знаки на протилежні; звести подібні доданки; знайти корінь рівняння. Якщо є потреба, то зробити перевірку.

Розв'язуючи в 7 класі рівняння другого степеня розкладанням лівої частини рівняння на множники за умови рівності нулю пра­вої частини рівняння, важливо чітко сформулювати теоретичну основу розв'язування таких рівнянь, а саме: добуток двох або кількох співмножників дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли принаймні один зі співмножників дорів­нює нулю.

Алгоритм розв'язування квадратних рівнянь задається форму­лою коренів квадратного рівняння.

Розв'язуючи дробові раціональні рівняння, можна запропо­нувати учням такий спосіб розв'язування: знайти спільний знаменник дробів, що входять до рівняння; помножити обидві частини рівняння на спільний знаменник; розв'язати одержане ціле рівняння; ви­ключити з його коренів ті, які перетворюють на нуль спільний знаменник.

До поняття системи лінійних рівнянь з двома невідомими уч­нів підводять в 7 класі після розгляду лінійного рівняння з двома невідомими і його графіка. Почати найкраще з розв'язування текс­тової задачі, з якої одержуються такі два рівняння. Щоб відповіс­ти на питання задачі, доведеться відшукати такі два значення не­відомих, які перетворюють на правильну числову рівність кожне з одержаних рівнянь. Означення системи не вводять, але пояс­нюють на розглянутому прикладі, що в таких випадках кажуть: одержані під час розв'язування задачі рівняння утворюють сис­тему рівнянь. Вводиться форма запису системи (фігурні дужки) і формулюється означення розв'язання системи двох рівнянь з дво­ма невідомими.

За аналогією із завданням розв'язати рівняння стверджується, що розв'язати систему рівнянь означає відшукати всі її розв'язки або довести, що розв'язків немає.

Насамперед вводиться графічний спосіб розв'язування систе­ми, щоб дати геометричне тлумачення розв'язків кожного з рів­нянь і системи рівнянь як координат точки перетину обох графі­ків. З'ясовується можлива кількість розв'язків системи двох лі­нійних рівнянь з двома невідомими залежно від розташування графіків. На наступних уроках в 7 класі розглядають два алгеб­раїчні способи розв'язування таких систем: спосіб підстановки і спосіб додавання. У 9 класі учні повертаються до вивчення сис­тем рівнянь. Тут уже розглядаються системи, в яких одне або обидва рівняння - другого степеня. Починають розв'язування таких систем теж з графічного способу, а потім розглядають спо­сіб підстановки. На заняттях математичного гуртка і в класах з поглибленим вивченням математики доцільно ознайомити учнів з іншими алгебраїчними способами розв'язування систем рівнянь окремих видів. Розглянемо деякі з таких способів.

Види рівнянь.

Найпростіші тригонометричні рівняння.

До них відносять рівняння вигляду sin х = а, cos х = а, tg х = а.

Шкільна практика свідчить про те, що часто учні правильно виконують потрібні перетворення при розв'язу­ванні складніших тригонометричних рівнянь і роблять помилки при розв'язуванні простіших рівнянь, до яких зводяться складні­ші. Тому важливо домогтись, щоб учні не формально запам'я­товували формули загального розв'язку, а усвідомлювали, чому одержуються саме такі формули, а не інші. Доцільно розглянути два способи розв'язування найпростіших тригонометричних рів­нянь:

1) графічний спосіб;

2) знаходження розв'язків за допомо­гою одиничного кола.

Показникові рівняння.

До найпростіших показнико­вих рівнянь належать рівняння вигляду af(x)= . Теоретичною основою його розв'язування є наслідок з властивості монотон­ності показникової функції: якщо степені того самого числа, відмінного від одиниці, рівні, то рівні і їх показники. Доцільно ознайомити учнів з основними способами роз­в'язування показникових рівнянь: спосіб зведення обох частин рівняння до степеня з однаковою основою, спосіб логарифмування, введення допоміжного невідомого, спосіб винесення спільного множника за дужки, графічний спосіб.

Логарифмічні рівняння.

Найпростішим є логарифмічне рівняння вигляду log_af(х)=b,яке розв'язується за означенням логарифма при умові, що f(x)>0.

Найпростіше логарифмічне рівняння log_af(х)=b можна розв'язати також способом зведення до рівності логарифмів з однією основою, якщо записати праву частину - число b - як ло­гарифм виразу за основою

Спосіб потенціювання. Цим способом розв'язуються логарифмічні рівняння, ліва і права частини яких є сумою лога­рифмів за однаковою основою числових виразів і таких, що містять змінну.

Спосіб введення допоміжного невідо­мого. Допоміжне невідоме доцільно вводити при розв'язуван­ні рівнянь, які є алгебраїчними стосовно логарифма за деякою основою.

Застосування формули переходу від однієї основи логарифма до іншої. Якщо рів­няння містить логарифми виразів за різними основами, то, розв'я­зуючи його, треба насамперед звести всі логарифми до якоїсь однієї основи.

Графічний спосіб. Рівняння, які містять змінну не лише під знаком логарифма, роз­в'язуються графічним способом.

Ірраціональні рівняння.

Розв'язування ірраціональних рів­нянь пов'язується з вивченням в 11 класі властивостей коре­ня п-го степеня.. Доцільно ознайомити учнів з двома способами розв'язування ірраціональних рівнянь.

Піднесення обох частин рівняння до степе­ня з показником, рівним показнику кореня, що входить до рівняння, спосіб введення допоміжної змінної.

Способи розв’язування нерівностей з однією змінною.

Під час розв'язування лінійних нерівностей з однією змінною доцільно використати аналогію з рівняннями і щодо означення, і щодо способу розв’язування.

Лінійною нерівністю з однією змінною називають нерівність ви­гляду ах<в або ах > в (або ах вЬ або ах в), де х - змінна, а і в - стала.

Якщо а 0, то множиною розв'язків нерівності ах < в є або множина , або множина .

При а = 0 множиною розв'язків цієї нерівності є або множина всіх чисел (при в > 0) або порожня множина (при в <0).

При а 0 множиною розв'язків нерівності ах > в є або множина , або множина .

Якщо а=0, то множиною розв'язків цієї нерівності є або по­рожня множина (при в > 0), або множина всіх чисел (при в < 0).

Вивчення нерівностей другого степеня з однією змінною перед­бачено в курсі алгебри 9 класу і по­в'язується з графіком квадратичної функції. Перш ніж розв'язувати та­кі нерівності загального вигляду, треба розглянути способи розв'язу­вання нерівностей вигляду х²<а, х >а (відповідно х² а, х² а).

Способи розв'язування нерівності:

Графічний спосіб, спосіб розкладання на множники, спосіб добування арифметичного кореня з обох частин нерівності.

Види нерівностей.

Показникові нерівності.

Важливо наголосити, що теоретичною основою нерівності розв'язування показникових нерівнос­тей є властивість монотонності показникової функції, а способи розв'язування - аналогічні способам розв'я­зування показникових рівнянь.

Найпростіша показникова нерівність вигляду a^f(x)>а (або a^f(x)< а ), де а>0, а 1, f(х) і (х) - алгебраїчні вирази, при а > 1 рівносильна нерівності f(х)> (х) (або f(х) < (х)), а при 0<а<1 рівносильна нерівності f(х) < (х) (або f(х)> (х)).

Способом зведення до однієї основи розв'язуються нерівності вигляду a^f(x)>b і нерівності вигляду a^f(x) >b (або a^f(x)<b , де а>0, b>0, а .

Це робиться заміною на степінь з основою а за допомогою ос­новної логарифмічної тотожності b=a .

Ці самі нерівності можна розв'язати і способом логарифму­вання обох частин нерівності за певною основою.

Логарифмічні нерівності.

До найпростіших логарифмічних нерівностей слід віднести нерівності вигляду log_af(x)>b (або log_af(x)<b, log_af(x)>log_a (x) (або log_af(x)<log_a (x)).

Теоретичною основою розв'язування логарифмічних нерівно­стей є властивість монотонності логарифмічної функції. Способи розв'язування логарифмічних нерівностей аналогічні способам розв'язування логарифмічних рівнянь.

Найпростішу нерівність log_af(x)>b (або log_af(x)<b) зручні ше розв'язати зведенням лівої частини до логарифма за осново a:b=log_aa^b, а далі скористатися властивістю монотонності логарифмічної функції.

Треба спеціально наголосити на вимозі враховувати область визначення виразів, які входять до складу нерівності.

Ірраціональні нерівності.

На рівні вимог обов'язкових ре­зультатів навчання програма не вимагає ознайомлювати учнів зі способами розв'язування ірраціональних нерівностей. Однак на підвищеному і поглибленому рівнях треба передбачити розв'я­зування найпростіших ірраціональних нерівностей.

Формування умінь і навичок розв'язування рівнянь і нерівностей.

В процесі формування умінь і навичок розв'язання рівнянь і нерівностей виділяють наступні етапи.

Підготовчий етап. Його мета - формування в учнів мотиву оволодіння відповідними уміннями і навичками, актуалізація знань, необхідних при введенні і закріпленні прийому розв'язання рівняння або нерівності. Діяльність учнів на цьому етапі носить репродуктивний або репродуктивно-творчий характер.

Ознайомлювальний етап складається з пояснення учням прийому розв'язання рівняння або нерівності, який фіксується в алгоритмі (навчальному прийомі), і усвідомлені ними кожного кроку алгоритма і їх послідовності. Діяльність учнів повинна здійснюватися на наслідувальному і репродуктивному рівнях.

Третій етап. Його суть полягає в формуванні уміння застосовувати прийом. Від учнів вимагається чітке розуміння того, як треба застосовувати прийом і фактичне виконання дій, які входять до нього, часто неточні і нестійкі, з інтенсивною концентрацією уваги. Діяльність учнів здійснюється на репродуктивному рівні.

Четвертий етап - формування навику застосовувати прийом, метою якого є автоматизація уміння. Формування навику досягається в результаті багаторазових застосувань вивченого прийому, орієнтована основа прийому скорочується, його виконавча частина автоматизується. Діяльність учнів здійснюється на репродуктивному рівні.

П'ятий етап - трансформація навику. Суть його заключаешься в застосуванні навику в різноманітних ситуаціях. Діяльність учнів здійснюється на репродуктивному або творчому рівнях.

Важливим завданням учителя с забезпечення в учнів повноцінних навичок по розв'язуванню рівнянь і нерівностей, які характеризуються наступними якостями: правильністю, усвідомленістю, автоматизмом і міцністю.