Література:

1. Слєпкань З.І. Методика навчання математики: Підручник. - 2-ге вид., допов. і перобл. – К.: Вища шк., 2006.

2. Божко В. Формування комбінаторних знань і вмінь в учнів основної школи. Матем. в шк.. – 2006. - №6.

3. ГрищенкоВ. Випадкова подія і ймовірність випадкової події у стохастичній лінії шкільного викладання. Матем. в шк. – 2005 - №8.

4. Бродський Я.С, Павлов О.Л. Про ймовірнісно-статистичну змістову лінію у шкільному курсі математики. Матем. в шк. – 2006 - №7.

5. Шкіль М.І., Слепкань З.І., Дубенчук О.С. Алгебра і початки аналізу. Підручник для 11 кл. загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Зодіак – ЕКО, 2002.

6. Бродський Л.С. Комбінаторика без формул і знайомство з ймовірністю та статистикою. – Х.: Вид. група «Основа», 2004.

Тема: Геометричні побудови на площині і в просторі. Розв’язування задач на побудову.

1. Що таке задача на побудову?

2. Питання методики розв'язування задач на побудову.

3. Методи розв'язування задач на побудову.

4. Зображення просторових фігур на площині

Що таке задача на побудову?

В задачах на побудову мова йде про побудову геометричної фігури за допомогою даних інструментів креслення. Такими інструментами частіше всього є лінійка і циркуль. Розв'язання задач полягає не стільки в побудові фігури, скільки у вирішенні питання, як це зробити, і відповідним доведенням. Задача вважається розв'язаною, якщо вказано спосіб побудови фігури і доведено, що в результаті вказаних побудов дійсно здобувається фігура з потрібними властивостями.

Всі задачі на побудову з допомогою циркуля і лінійки зводяться до побудови - точки, відрізку, кола. Для побудови відрізку і кола досить виділити їх визначальні точки. З іншої сторони, побудова фігури, в якій є всі задані властивості (це являється вимогою будь-якої задачі на побудову), також зводиться до побудови визначальних її точок (характеристичних точок цієї фігури). Побудова точки як геометричної фігури, ідентична перетину двох ліній — прямої і прямої, прямої і кола, двох кіл.

Основні задачі на побудову.

До основних задач на побудову в дев'ятирічній школі відносять:

• на даній прямій від даної точки відкласти відрізок даної довжини;

• побудову трикутника за даними сторонами;

• побудову кута, рівного даному;

• побудову бісектриси даного кута;

• поділ відрізка пополам;

• побудову перпендикулярної прямої;

• побудову трикутника за двома сторонами і куту між ними;

• побудову трикутника за стороною і прилеглими кутами;

• побудову прямокутного трикутника за гіпотенузою і катетом;

• побудову прямокутного трикутника за гіпотенузою і прилеглим до неї гострим кутом;

• через дану точку провести пряму паралельну даній прямій;

• поділ відрізку на n рівних частин;

• побудову відрізка х, пов'язаного з даними відрізками а і b рівністю

- побудову відрізках, пов'язаного з даними відрізками а і b рівністю

• поділ дуги кола пополам;

• побудову дотичної до кола в даній точці;

• побудову дотичної до кола з даної точки поза колом;

• поділ відрізка в даному відношенні;

• побудову відрізка, четвертого пропорціонального до трьох даних;

• побудову відрізка х, пов'язаного з даними відрізками а і b рівністю

Метричні і позиційні задачі на побудову.

Задачі на побудову діляться на два типи: метричні і позиційні.

Метричні - положення шуканої фігури не залежать від положень даних і може бути вибрано на площині довільно. Прикладом метричної задачі на побудову трикутника за трьома сторонами. Дані фігури в цій задачі - три відрізки (сторони шуканого трикутника). Положення шуканої фігури (трикутника) не залежить від того, де побудовані відрізки. В метричних задачах визначають форму і розміри шуканих фігур, а не їх положення.

Позиційні задачі - положення шуканої фігури залежить від положення даних. Наприклад. Задачі на побудову дотичної до кола в даній точці. Відрізняти метричні і позиційні задачі учні повинні з перших уроків геометрії.

Питання методики розв'язування задач на побудову.

Розглядаються задачі на побудову в курсі геометрії 7 класу, потім, починаючи з 8 класу, задачі на побудову входять в склад тем, які вивчаються. В діючих підручниках кожна задача на побудову дається відокремлено, не дивлячись на те, що авторами задається продумана послідовність цих задач.

Розв'язуючи задачі на побудову, з перших уроків учням потрібно пояснювати сутність термінів "побудувати точку", "побудувати пряму", "дано точку", "дано пряму". Точка (пряма) вважається побудованою, якщо накреслено її умовне зображення. Вираз "дано точку" - означає, то точка побудована. "Дано фігуру" - означає, що фігура побудована; фігура, яку треба побудувати, називають шуканою. Побудувати фігуру - це значить накреслити її, застосовуючи певні інструменти. Суть цих термінів треба пояснювати послідовно при розв'язуванні задач, але не завчати. Умови перших задач по геометрії не треба записувати в зошити, треба, щоб учні відразу ж виконували побудови.

Наприклад:

1. Побудувати точку, позначити її буквою. Скільки точок можна побудувати на площині?

2. Побудувати точку і провести через неї пряму. Скільки прямих можна провести через неї? Побудувати через цю точку ще чотири прямих.

Ставлячи такі питання ми поступово привчаємо учнів до розуміння дослідження задач на побудову.

3. Побудувати пряму, яка проходить через три дані точки. Чи завжди дана задача має розв'язання?

При розв'язанні цієї задачі корисно сказати учням, що задачі, в яких треба побудувати точки або лінії, або інші фігури, називаються задачами на побудову.

Схема, по якій розв'язують задачі на побудову циркулем і лінійкою, складається з чотирьох частин: аналіз, побудова, доведення, дослідження.

I. Аналіз - це підготовчий етап і в той же час найбільш важливий для розв'язування задач. Метою аналізу є встановлення таких залежностей між елементами шуканої фігури і даними задачі, які дозволяли б побудувати цю фігуру. Аналіз задачі полягає в тому, що припускають її розв'язання і знаходять різні наслідки (або передумови) цього припущення. а потім, в залежності від виду цих наслідків, намагаються знайти шлях відшуку розв'язання поставленої задачі.

При розв'язанні геометричних задач на побудову в склад діяльності "аналіз" входять такі дії:

• розпізнати задачу, її вигляд і предметну область;

• оформити інформацію, яка міститься в задачі так, щоб вона добре сприймалась в цілому (у вигляді схеми, геометричного образу); виділити дане і шукане;

• перевірити вимоги визначеності шуканого об'єкту: знайти число елементів, визначаючих шукане; з'ясувати чи є в умові достатня кількість даних для розв'язання задач; знайти і усунути зайві умови в формулюванні задачі; встановити серед даних метричні і кутові елементи; вказати елементи (єдиним способом визначити шукану фігуру) шуканої фігури, які дозволяють відразу здійснювати побудову і встановлювати серед них відомі і невідомі;

• переформулювати задачу;

• здійснити вибір адекватного методу розв'язання і відтворити вибраний метод;

• скласти план побудови.

II. Побудова за наміченим планом.

3. Доведення того, що побудована фігура задовольняє умовам задачі.

4. Дослідження задачі, тобто вияснення питань про те, чи при будь-яких даних задача мас розв'язок, а якщо має, то скільки?

Оволодіння загальним прийомом розв'язання задач на побудову буде сприяти розумному, свідомому і самостійному знаходженню учнями способу побудови потрібної геометричної фігури.

Короткий запис

1. Якщо дані вигляд і розміщення фігур відносно один одного, то в "Дано" можна записати тільки позначення фігур і з допомогою позначок відносини між ними, а самі фігури зобразити пізніше, коли будуть виконуватися побудови.

Приклад. Побудувати трикутники за двома сторонами і радіусу описаного кола. Дано:

Побудувати: ABC, так, щоб

1) ВС = а,

2. АС = в,

3. А, В, С - на колі (О, R).

Розглядаючи способи розв'язування задач на побудову, як практичні способи, виділяють чотири етапи їх формування: підготовчий, ознайомчий, формуючий і етап удосконалення умінь. Спочатку вчителю необхідно виявити систему умов, на яку повинен спиратися учень для успішного оволодіння практичними уміннями.

Методи розв'язування задач на побудову.

1. Метод базисних трикутників

Сутність методу - використання допоміжного трикутника (його ми назвемо базисним). Доцільно вважати базисними трикутники, які можна побудувати за двома сторонами і кутом між ними, за стороною і двома кутами, за трьома сторонами. Якщо трикутник прямокутний, то його можна побудувати за двома катетами, катетом і гострим кутом, гіпотенузою і гострим кутом, гіпотенузою і катетом

Аналіз побудови дозволяє виділити наступні етапи:

• спочатку треба знайти трикутник, який можна легко побудувати - базисний.

• з'ясувати, що дала побудова базисного трикутника (які з'явились елементи, не зазначені в умові задачі).

• якщо нові елементи такі, що за їх допомогою можна розв'язати задачу, то мету досягнуто.

• якщо цього не відбулося, то можна побудувати ще один допоміжний трикутник, властивості і елементи якого допоможуть закінчити розв'язання.

Задача 1. Побудувати рівнобедрений трикутник Розв'язання. Зробимо аналіз задачі:

Оскільки в прямокутному трикутнику задано катет

і гіпотенуза ВС=а, то трикутник ВЕС легко побудувати (тому він і є базисним). Дістанемо кут отже, й кут . Маємо а,

В, С, тому можна побудувати трикутник ABC.

2. Сегмент, що вміщує даний кут.

В основі методу лежить наступна задача: Знайти геометричне місце точок (ГМТ), з якого даний відрізок видно під даним кутом.

3. Алгебраїчний метод в задачах на побудову.

Основа методу. Задано декілька відрізків. Необхідно за допомогою циркуля і лінійки побудувати відрізок, довжина якого за деякою формулою виражена через довжини заданих відрізків. Тому перший етап алгебраїчного методу - вміння будувати відрізок, заданий деякою формулою і відрізками, які входять в цю формулу.

Суть методу. Нехай а, в, с, d — довжини даних відрізків, X - шуканий відрізок. Спочатку будуємо відрізки, які задано формулами.

Задача. Побудувати відрізок

4. Метод спрямлення.

Суть методу. Якщо дана сума або різниця двох або декількох лінійних елементів трикутника, знаходимо базовий трикутник, який будується по цій сумі або різниці та другим даним задачі. Із базового трикутника одержати пошуковий, як правило, допомагає симетрія. Основа методу - в назві, тобто два не даних лінійних елемента "спрямляємо" в лінію (в даний відрізок).

Зображення просторових фігур на площині.

Зображенням фігури (прообразу) називається будь-яка фігура (образ), подібна до паралельної проекції даної фігури на площину. Форма зображення залежить від положення зображуваної фігури щодо площини проекцій, а також від вибору напряму проектування.

Задача зображення фігури вважається розв'язаною, якщо одержано будь-яке зображення фігури, яке вдало, правильно і наочно відображає форму геометричної фігури і співвідношення між її елементами. Для цього у процесі виконання малюнків мають бути реалізовані такі вимоги:

• правильність, яка означає, що існує такий спосіб проектування, при якому зображення фігури подібне до його проекції;

• наочність, яка передбачає, що образ фігури створює саме те враження, що і прообраз;

• простота зображення, яка полягає в тому, що для виконання додаткових побудов не треба користуватися складними допоміжними побудовами;

- повнота. суть якої в тому, що за розміщенням усіх елементів геометричної фігури або її частин на малюнку можна говорити про розміщення цих елементів у просторі.

Способи побудови зображення фігур ґрунтуються на властивостях паралельною проектування (мається на увазі загальний випадок, коли проектування здійснюється паралельно прямій, яка не паралельна тим прямим чи відрізкам, що проектуються):

• проекція точки є точка;

• проекцією прямої є пряма;

• зберігається паралельність прямих (відрізків);

• відношення довжин відрізків прямої (яка проектується) дорівнює відношенню довжин їх проекцій;

• відношення довжин проекцій двох паралельних відрізків дорівнює відношенню довжин відрізків, які проектуються.

Зображення піраміди, призми, циліндра або конуса починають із зображення їх основи - многокутника або кола. Виконуючи зображення фігур, треба дотримуватись правил і вимог креслення. Використовувати суцільні лінії різної товщини, пунктирні та штрихпунктирні лінії. Зображення повинні бути правильними, повними, наочними і простими у виконанні.

Будь-який трикутник зображується довільним трикутником у зручному розташуванні на рисунку.

Будь-який паралелограм (включаючи прямокутник, квадрат, ромб) може бути зображений довільним паралелограмом.

Будь-яка трапеція (в точу числі і рівнобічна, прямокутна) може бути зображена довільною трапецією.

До основних задач на побудову відносяться: побудова точки зустрічі прямої з площиною; побудова лінії перетину двох даних площин; побудова перерізу многогранника площиною, яка визначена відповідним способом.

Розглянемо побудову перерізів в многогранниках. Уміння розв'язувати задачі на побудову перерізів є основою вивчення майже усіх тем курсу стереометрії. Основними діями, які складають метод побудови перерізів, є:

• знаходження точки перетину прямої з площиною;

• побудова лінії перетину двох площин;

• побудова прямої, паралельної до площини;

• побудова прямої перпендикулярної до площини;

• метод внутрішнього проектування;

• комбінований метод.

Для формування вмінь володіти вказаними діями, потрібно мати на увазі, що в сукупності вправ повинні бути передбачені всі ситуації застосування перелічених дій.

Задача на побудову точок перетину двох фігур чи взаємне розміщення їх, називається позиційною. Для розв'язання позиційної задачі потрібне повне зображення. Позиційні задачі зводяться до таких найпростіших: побудови лінії перетину двох площин, точки перетину прямої з площиною.