Література:

1. Слєпкань З. І. Методика навчання математики: Підручник. – 2-ге вид., допов. і перероб. – К.: Вища шк., 2006. – 582с.

2. Бевз Г. П. Методика викладання математики: Навч. посібник. – К.: Вища шк., 1995. – 367с.

3. Погорєлов О. В. Стереометрія: Підруч. для 10 – 11 кл. серед. шк. – 3-те вид. – К.: Освіта, 1997. – 128с.

Тема: Вивчення величин в курсі геометрії.

1. Місце величин в шкільному курсі математики.

2. Методика вивчення геометричних величин у планіметрії.

3. Геометричні величини у стереометрії.

Місце величин у шкільному курсі математики.

Перше уявлення про величини та вимірювання їх учні дістають ще в дошкільному віці: уявлення про величину як просторову ознаку предметів накладанням і прикладанням їх, навички порівнювати різні предмети, утворювати впорядковані сукупності (за довжиною, об'є­мом та ін.), розвиток окоміру, початкові уявлення про вимірювання величин.

У шкільному курсі величини, їх вимірювання та обчислення ви­вчають концентрично. У першому концентрі (1—4 класи) на наочній основі формуються уявлення про довжину, площу, масу, час, швид­кість, вартість. Вводяться одиниці величин та одиниці їх виміру, розглядаються залежності між величинами (ціною, кількістю та вартістю; швидкістю, часом і шляхом; площею і довжинами сторін прямокутника), учні застосовують набуті знання й уявлення для розв'язування текстових задач, які містять величини, вчаться практично вимірювати довжини відрізків і ламаних у сантиметрах, дециметрах, міліметрах, будувати відрізок за заданою довжиною, обчислювати периметр і площу прямо­кутника, квадрата. Запроваджуються одиниці площі (квадратний метр, квадратний дециметр, квадратний сантиметр), розв'язуються вправи на визначення площ фігур підрахунком. У 4 класі учнів ознайомлюють зі співвідношеннями між одиницями величин.

У 5 —6 класах відомості про величини, їх вимірювання й обчис­лення повторюються і розширюються. Тут учнів ознайомлюють із двома новими величинами — мірою кута (вводиться градусна міра кута) й об'ємом прямокутного паралелепіпеда.

Другий концентр щодо вивчення величин, їх вимірювання й обчи­слення здійснюється в два етапи. На першому етапі, у 7 — 9 класах, учні знову повертаються до відомих їм геометричних величин, але вивчають їх уже на дедуктивній основі: запроваджуються первісні поняття «довжина відрізка», «градусна міра кута» та аксіоми, що виражають істотні властивості цих понять. У 9 класі програмою пе­редбачено вивчення площ багатокутників, довжини кола і площі кру­га.

Другий етап реалізовується в 10—11 класах. Учні в курсі стерео­метрії вивчають питання вимірювання площ поверхонь і об'ємів гео­метричних тіл.

Методика вивчення геометричних величин у планіметрії.

Повто­рення і розширення відомостей про довжини відрізків і міру кутів та їх вимірювання у 5 — 6 класах доцільно здійснювати через роз­в'язування текстових задач, забезпечуючи цим перспективні зв'язки з наближеними обчисленнями, оскільки результати вимірювань дов­жин і величин кутів виражаються наближеними значеннями. Доціль­но також дати учням чіткі алгоритми вимірювання відповідних ве­личин.

Вивчаючи формулу довжини кола в 6 класі, слід звернути увагу учнів на те, що виміряти безпосередньо довжину цієї замкненої кри­вої лінії масштабною лінійкою, яка є відрізком прямої, не можна. Однак можна знайти формулу, яка дає змогу обчислити довжину ко­ла через його радіус або діаметр, тобто через відрізки прямої.

Під час повторення систематичного курсу геометрії, потрібно звернути увагу учнів на те, що довжина відрізка і градусна міра кута є первіс­ними поняттями, а аксіоми вимірювання описують властивості цих понять. Водночас поняття площі в 9 класі та поняття об'єму в 11 кла­сі в підручнику О. В. Погорєлова вводяться за допомогою означення. При цьому в тлумаченні всіх «трьох» геометричних величин і в розумінні їх ви­мірювання здійснено єдиний підхід:

1. рівні фігури мають рівні відповідні величини (довжини, міри кутів, площі, об'єми);

2. якщо фігуру розбивають на частини, то відповідна цій фігурі величина (довжина, міра кута, площа, об'єм) дорівнює сумі відповід­них величин її частин;

3. існує одиниця виміру, тобто фігура, відповідну величину якої взято за одиницю (одиничний відрізок, центральний кут в 1°, квадрат і куб, сторони яких є одиничними відрізками).

У курсі геометрії й алгебри основної школи розширюються відомо­сті про кути та вимірювання їх. У курсі алгебри вводять поняття про кут повороту (як величину, а не фігуру), який може виражатися в гра­дусах будь-яким дійсним числом від до . У геометрії (й алгебрі) запроваджують поняття радіанної міри кута.

У курсі планіметрії на основі наочних, інтуїтивних уявлень про площу, які учні отримали в 1—6 класах, теоретичні відомості про площі фігур будуються на дедуктивній основі. У підручнику О. В. Погорєлова в 9 класі сформульовано означення площі простої фігури. У ньому перелічено істотні властивості площі, і на їх ос­нові доводиться формула площі прямокутника та інших видів бага­токутників.

Геометричні величини в стереометрії.

У курсі стереометрії 10 – 11 класів розглядають величини трьох видів: кути (двогранні кути, кути між двома прямими в просторі, прямою і площиною), площі поверхонь та об'єми багатогранників і тіл обертання.

Вимірювання кутів між прямими в просторі, прямою і площиною, двогранних кутів фактично зводиться до обчислення плоских кутів.

Щодо площ поверхонь геометричних тіл, то обчислення площ по­верхонь багатогранників не становить труднощів, оскільки задача зводиться до обчислення площ граней (багатокутників). Площі поверхні циліндра і конуса також легко обчислити за допомогою їхніх розгорток. Обчислення площі сфери дещо складніше. Проте для всіх тіл обертання важливо вміти знаходити відповідні формули площ повер­хонь, використовуючи підхід, аналогічний доведенню формули площі круга. Тільки для тіл обертання доводиться вписувати відповідно правильну п-кутну призму (для циліндра), правильну п-кутну піра­міду (для конуса) і описувати опуклий багатогранник (для сфери). У цьому разі також використовується ідея граничного переходу.

Перше уявлення про об'єми тіл та їх обчислення учні дістають у курсі математики 5 класу у зв'язку з вивченням прямокут­ного паралелепіпеда. Наприкінці 9 класу розглядають початкові відо­мості стереометрії, без доведення вивчають геометричні величини. В 11 класі учні повертаються до вивчення об'ємів на дедуктивній ос­нові. За умови роботи за підручником О. В. Погорєлова анало­гічно введенню поняття площі фігури в курсі планіметрії запрова­джується поняття об'єму спочатку простих тіл. Так само формулю­ється означення об'єму простого тіла як додатної величини, числове значення якої має три властивості. Далі доводиться формула об'єму прямокутного паралелепіпеда. В останньому виданні підручника подано інший, коротший спосіб доведення цієї формули, ніж у попе­редніх, але також із використанням ідеї граничного переходу.

Практика виявляє, що доведення формул об'єму похилого парале­лепіпеда методом перетворення його додатковими побудовами на прямокутний, як і доведення формули об'єму призми, не зумовлюють в учнів особливих труднощів, якщо використати заздалегідь виготов­лені моделі, що ілюструють етапи перетворення.