Література:

1. Слєпкань З. І. Методика навчання математики: Підручник. – 2-ге вид., допов. і перероб. – К.: Вища шк., 2006. – 582с.

2. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владимирова Н. Г. Геометрия: Учеб. для 7 – 11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1992. – 352с.

3. Бевз Г. П. Методика викладання математики: Навч. посібник. – К.: Вища шк., 1995. – 367с.

4. Погорєлов О. В. Планіметрія: Підруч. для 7 – 9 кл. серед. шк.. – 3-те вид. – К.: Освіта, 1998. – 223с.

Тема: Координати і вектори в просторі. Основна мета теми при навчанні в профільних класах.

1. Введення декартових координат.

2. Доведення формул відстані між двома точками і координат середини відрізка в просторі.

3. Розв'язування стереометричних задач координатним методом

4. Вектори в стереометрії.

В гуманітарних класах тема «Координати і вектори в просторі» розглядаються лише теоретично.

В профільних класах тема: «Координати і вектори в просторі» є апаратом для розв’язування задач, тобто використовується координатний метод, векторний метод, координатно-векторний метод.

Ця тема продовжує за матеріалами стереометрії розвивати ідеї координатного і векторного методів з курсу планіметрії. Особливість її полягає в тому, що багато означень понять планіметрії без змін «переходять у простір» (наприклад, перетворення фігур, симетрія фігур відносно точки, прямої, гомотетія, вектор, абсолютна величина вектора). Без зміни формулюється низка тверджень, що виражають властивості перетворень і векторів (наприклад, властивості паралельного перенесення, теореми про властивості рівних і колінеарних векторів, скалярного добутку). Багато понять і тверджень цієї теми означають та доводять аналогічно до відповідних понять і тверджень планіметрії, тому вивчення її надає великі можливості для використання аналогій. У зв'язку з цим перед розглядом нового матеріалу потрібно повторити відповідні відомості з планіметрії й організувати самостійну роботу учнів з новими поняттями та теоремами на основі аналогій.

Оглядовий характер вивчення теми і невелика кількість уроків, що передбачені для її опрацювання базовою програмою, не дають можливості систематично використовувати координатний і векторний методи для розв'язування геометричних задач у просторі. Проте такі задачі можна розв'язувати під час вивчення наступних тем, на заняттях математичного гуртка, факультативах. У класах з поглибленим вивченням математики це потрібно робити систематично.

Для забезпечення ефективного повторення і засвоєння нового матеріалу доцільно використовувати наочні посібники, в яких зіставляються відомості про вектори на площині і в просторі. З цією метою можна виготовити таблиці, послуговуватися персональними комп'ютерами, кодопозитивами.

Введення декартових координат.

Розглядаючи декартові координати у просторі, потрібно нагадати учням відомості про координати точок на прямій і площині. З цією метою можна застосувати в класі для фронтальної роботи таку систему запитань і завдань.

1. Що таке координатна пряма? Чим визначається положення точок на координатній прямій?

2. Позначити на координатній прямій точки А(2), В(-3), С(2, 7). Знайти координати точки О (рис. 1).

рис. 1

3. Як визначити відстань між точками А₁(х₁) і А₂(х₂) координатної прямої?

4. Знайти відстань між точками А(2) і В(-3).

5. Що таке система координат на площині?

6. Чим визначається положення будь-якої точки на координатній площині? Що називається абсцисою; ординатою точки?

7. Як знайти точку М(х₁;у₁) на координатній площині, якщо задано її координати х₁ і у₁ ? Знайти точку N (1; - 2) на координатній площині (рис.2).

рис.2 рис.3

8. Як знайти координати точки Р, заданої на координатній площині (рис.2)?

9. Як визначити відстань між точками А(х₁;у₁) і В(х₂;у₂) за їх координатами?

10. Знайти відстань між точками А (1; -2) і В(-2; 2).

10. Визначити координати середини відрізка АВ, якщо А(1;0) і В(3;2).

Після введення декартових координат у просторі, означення координат і пояснення прямої задачі потрібно за готовим рисунком або за моделлю координатного простору пояснити два можливі способи розв'язування оберненої задачі. Перший спосіб наведено на рис.3

рис.4

Другий спосіб зводиться до побудови прямокутного паралелепіпеда (рис.4).

Можна зробити висновок про те, що положення будь-якої точки в координатному просторі задається впорядкованою трійкою чисел х, у, г. Кожній точці координатного простору відповідає певна впорядкована трійка чисел і, навпаки, кожній впорядкованій трійці чисел відповідає точка координатного простору.

Доведення формул відстані між двома точками і координат середини відрізка в просторі.

Після постановки завдання знайти і довести формулу відстані між двома точками А₁ (x₁;y₁;z₁) і А₂(х₂;у₂;z₂) У просторі та формулу координат середини відрізка АВ учні можуть висловити гіпотезу: за аналогією з відповідними формулами планіметрії вони мають вигляд

Здавалося б, що доведення цих формул, аналогічних планіметричним, не повинні спричинити труднощі в учнів. Проте досвід показує інше. У частини учнів доведення формули відстані між двома точками зумовлює значні труднощі на етапі обґрунтування побудови прямокутного трикутника в просторі. Тому доцільно організувати колективний пошук доведення.

Можна запропонувати учням довести формули координат середини відрізка у просторі самостійно за підручником під час виконання домашнього завдання, а на наступному уроці перевірити засвоєння цього матеріалу.

Розв'язування стереометричних задач координатним методом.

Правило-орієнтир координатного методу таке саме, що і в планіметрії. Після його повторення можна проілюструвати застосування координатного методу в стереометрії прикладом розв'язування такої задачі.

Задача 1. У сферу вписано правильну чотирикутну піраміду з двогранним кутом при основі α. Знаючи, що площа сфери дорівнює S, знайти площу основи піраміди.

рис. 5.

Розв'язання. У цьому випадку зручно вибрати систему координат так, щоб початок її був у центрі М основи, а додатні напрямки осей х, у, z збігалися відповідно з напрямками променів МВ, МС, МS, на яких лежать діагоналі основи і висота піраміди (рис.5). Позначимо висоту основи як а.

У вибраній системі координат

Аплікату точки S визначимо з прямокутного трикутника SМК, де , . Отже, .

Аплікату z центра О сфери визначимо із співвідношення ОМ²+МВ²=ОВ², враховуючи, що ОВ=ОS, Отже, маємо . Звідси .

Радіус описаного кола

.

Відомо, що , або . Із цієї рівності визначимо площу основи піраміди SABCD:

Вектори в стереометрії.

Перш ніж розглядати цю тему, потрібно запропонувати учням повторити за підручником навчальний матеріал стосовно векторів на площині, зокрема пригадати: означення вектора, його модуля, рівних векторів, координат вектора, властивість рівних векторів, заданих координатами, правила знаходження вектора-суми, різниці двох векторів, добутку вектора на число, формулювання векторної рівності, означення скалярного добутку і його властивість через добуток модулів і кут між ними.

Основні поняття векторів в просторі:

1. Вектором називають напрямлений відрізок і позначають:

2. Нехай вектор має початком і кінцем точки А₁(х₁; у₁; z₁), А₂ (х₂; у₂; z₂).

Координатами вектора називають числа . Вектор , заданий координатами, позначають або

3. Координати нульового вектора дорівнюють нулю

4. Два вектори називають рівними, якщо вони суміщаються паралельним перенесенням.

5. Теорема. Рівні вектори мають рівні відповідні координати і, навпаки, якщо у векторів відповідні координати рівні, то вектори рівні.

6. Вектори називають однаково напрямленими, якщо півпрямі АВ і СВ однаково напрямлені

7. Абсолютною величиною (або модулем) вектора називають довжину відрізка, що зображує вектор. Позначають

8. Теорема. Абсолютна величина вектора

9. Сумою векторів і називають вектор

10. Для будь-яких векторів

11. Хоч якими є точки А, В і С, виконується векторна рівність

12. Різницею векторів і називають такий вектор , який у сумі з вектором дає вектор . Звідси

13. Добутком вектора на число λ називають вектор

14. Два відмінних від нульового вектори називають колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих

15. Теорема. У колінеарних векторів відповідні координати пропорційні і, навпаки, якщо у двох векторів відповідні координати пропорційні, то вектори колінеарні.

16. Скалярним добутком векторів і називають число а₁b₁+а₂b₂+а₃b₃

17. Теорема. Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між векторами

18. Для будь-яких векторів , ,

19. Будь-який вектор , можна записати у вигляді ,де , , ,— одиничні вектори (орти).