2. Аналитическое выравнивание временных рядов. Прогнозирование развития с помощью кривых роста

Одним из наиболее эффективных способов выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. Сущность этого метода состоит в представлении уровней временного ряда в виде функции от времени (кривой роста)

Оценка параметров кривых роста осуществляется методом наименьших квадратов (МНК), в соответствии с которым выбираются те параметры, при которых сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений y_t от полученных по модели , минимальная

Мы будем использовать сглаженный временной ряд при простой скользящей средней g = 5.

1. Линейная модель

Линейная модель вида используется для описания процессов, развитие которых протекает равномерно во времени. Линейная модель описывается двумя параметрами: , интерпретируемым, как параметр начальных условий и , интерпретируемым как скорость роста.

В случае линейной модели решение системы уравнений, полученной при минимизации функционала , позволяет получить несложные аналитические формулы для оценки параметров.

Для расчета коэффициентов модели сначала необходимо определить произведения для всех уровней ряда. Полученные результаты показаны в приложении 5.

Сумма значений ;

Далее рассчитываем значения коэффициентов линейной модели по формулам, определенным в соответствии с методом наименьших квадратов:

; , где n – число уровней ряда.

Подставив данные в имеющиеся уравнения, получим a₁ = 154,67 и a₀ = 16409. Получим, что импорт товаров в РФ в месяц описывается линейной моделью .

Формулы расчета коэффициентов модели могут быть упрощены, если перейти к центрированной временной шкале, т.е перенести начало координат в середину ряда динамики. Так как во временном ряде четное число наблюдений уровням рядa p и (р+1)ставятся в соответствие t = -1 и t = 1, и далее временная шкала строится с интервалом Δt=2.

Для расчетов коэффициентов линейной модели, как и в случае произвольной временной шкалы, сначала необходимо определить суммы значений по всем уровням временного ряда (Приложение 5).

Далее на основе полученных сумм рассчитаем значения коэффициентов линейной модели по формулам:

и где n – число уровней ряда.

Коэффициенты равны 152,37 и 13638,17 соответственно.

Получаем, что динамика ряда импорта товаров в РФ в период с 01.01.07 по 01.08.13 описывается линейной моделью:

.

2. Параболическая модель

Параболическая модель вида используется для описания процессов, развитие которых характеризуется равноускоренным ростом (или снижением). Параболическая модель описывается тремя параметрами: , интерпретируемым как параметр начальных условий, , интерпретируемым как скорость роста, и , интерпретируемым как ускорение роста.

В случае параболической модели решение системы уравнений, полученной при минимизации функционала , позволяет получить несложные аналитические формулы оценки параметров только для центрированной временной шкалы.

Для расчета коэффициентов модели сначала необходимо определить произведения для всех уровней ряда (приложение 5).

Далее производится суммирование показателей по всем уровням ряда. Получим суммы .

Полученные суммы позволяют рассчитать значения коэффициентов линейной модели по формулам:

; ; где n – число уровней ряда. Коэффициенты равны 2,11; 152,37 и 21506,48 соответственно.

Получим, что динамика ряда импорта товаров в РФ за период с 01.01.07 по 01.08.13 описывается параболической моделью: .

Прогнозы на следующие 4 периода по всем моделям представлены в таблице 3.

Таблица 3 – Прогнозы развития с помощью кривых роста

t	Дата	Линейная модель (норм. вр. шкала)	t	Линейная модель (цент. вр. шкала)	Параболическая модель
81	01.09.2013	28937,52219	41	19885,35	31297,81
82	02.09.2013	29092,19035	42	20037,72	31625,18
83	03.09.2013	29246,85851	43	20190,09	31956,76

Метод аналитического выравнивания позволяет найти аналитическую функцию выражающую развитие явления за рассматриваемый период времени. На практике для описания тенденции развития широко используются кривые роста, представляющие собой различные функции от времени. При этом изменение исследуемого показателя связывают только с течением времени, а другие факторы не существенны или косвенно связаны через фактор времени.