2. Проверка гипотезы о наличии тренда

Анализ рядов динамики, как правило, начинают с определения основной тенденции развития. В большинстве случаев, выделению и оценке тренда предшествует проверка гипотез о его наличии или отсутствии на основании различных критериев.

Критерий серий, основанный на медиане

Вычисляем медианное значение исследуемого временного ряда. Можно перейти к ранжированному временному ряду и далее, в соответствии с определением медианы Me вариационного ряда длиной n, рассчитать:

где - уровни ранжированного ряда.

Так же медиану можно определить с помощью функций Microsoft Excel.

В соответствии с расчетами, медиана исследуемого ряда равна 23431,5.

Далее каждому уровню ряда y_t поставим в соответствие значение по правилу:

Далее определим серии – последовательности подряд идущих плюсов и минусов, полученные результаты представлены в приложении 3.

Подсчитаем наблюдаемые значения двух показателей: – число серий в совокупности ; – протяженность самой длинной серии. Критические значения (для 5% уровня значимости) рассчитываются по формулам:

Вычисленные критические значения равны соответствующе 23 и 9.

Проверим гипотезу об отсутствии тренда. Она основана на сравнении наблюдаемых и критических значений числа серий и максимальной протяженности серии. Критерий формулируется следующим образом:

• если выполняется то с 95% вероятностью гипотеза об отсутствии тренда не отвергается;

• если хотя бы одно из неравенств системы не выполняется, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается с вероятностью ошибки 5%.

В рассматриваемом примере наблюдаемое число серий 14 меньше критического значения 23, а наблюдаемая протяженность самой длинной серии 21 превышает критическое значение 9. Поэтому в соответствии с критерием серий, основанным на медиане, гипотеза о том, что временной ряд импорт товаров в РФ в месяц не содержит тренд, отвергается с 95% вероятностью, то есть тренд есть.

Метод Фостера-Стюарта

Каждому уровню ряда y_t , начиная со второго, ставят в соответствие значение трех вспомогательных характеристик m_t, l_t, и d_t :

Полученные значения представлены в приложении 3.

Определим характеристики и её среднюю квадратическую ошибку

В нашем примере D=17,

Расcчитаем наблюдаемое значение статистики критерия , критическое значение . В нашем случае они равны соответственно 6,04 и 1,99.

Проверка гипотезы об отсутствии тренда методом Фостера-Стюарта основывается на сравнении наблюдаемого и критического значения t – статистки. Сам критерий формулируется следующим образом:

• если выполняется: , то с вероятностью (1-α) гипотеза об отсутствии тренда не отвергается;

• если , то гипотеза об отсутствии тренда отвергается с вероятностью ошибки α.

В рассматриваемом примере наблюдаемое значение статистики 6,04 превышает критическое значение 1,99. Поэтому в соответствии с критерием Фостера-Стюарта гипотеза о том, что ряд импорта товаров в РФ в месяц не содержит тренд, отвергается с 95% вероятностью.

В результате проведенных исследований можно сделать вывод о том, что данный временной ряд содержит тренд.