7.5.2. Двойной маятник
Пусть теперь к тяжелому маятнику подвешен легкий маятник с приблизительно тем же периодом колебаний (рис. 7.11a). Если сообщить тяжелому маятнику короткий толчок, то легкий маятник приходит в быстрое движение, которое, однако, внезапно прекращается на короткое время. В тот же самый момент мы замечаем, что тяжелый маятник, который до этого находился в покое, начинает совершать заметные колебания. Однако вслед за этим он снова приходит в состояние покоя и, со своей стороны, приводит легкий маятник в сильное колебание, после чего картина повторяется [10].
Рассмотрим этот вопрос математически. Пусть массы маятников равны M и m, причем m << M,
а
длины маятников
равны друг другу (опять квазисимпатические
маятники!).
Считая
углы отклонения
и
малыми, можем записать (рис. 7.11б)
,
сos
а |
б |
Рис. 7.11. Двойной маятник.
Тогда уравнения движения маятников можно записать в виде
(8)
(9)
Решение системы уравнений (8), (9) проводится стандартным приемом
.
Подставив
эти переменные в (8), (9), и проведя
преобразования, получаем уравнение для
определения
(10)
Его решением являются две частоты
(11)
.
(12)
Для начальных условий x = 0, dx/dt = 0, X = 0, dX/dt = C, соответствующих небольшому толчку по массивному маятнику, получаем зависимость координат от времени
(13)
(14)
Таким
образом, отклонения маятников, ввиду
близости
и
,
имеют характер биений.
7.5.3. Цепочка связанных маятников
Итак, мы показали, что если имеются два одинаковых связанных осциллятора, то возбуждение одного из них приведет к периодическому обмену энергией между этими осцилляторами (биения). В системе нескольких одинаковых связанных маятников возбуждение первого маятника передается далее по цепочке, пока не дойдет до последнего, после чего волна возбуждения пойдет в обратную сторону. Фактически имеет место отражение волны от последнего маятника. В общем курсе физики подробно такая система маятников обычно теоретически не изучается, поэтому полезно показать демонстрационную модель такого процесса (рис. 7.12).
Рис. 7.12. Шесть связанных маятников
Установка включает в себя шесть одинаковых маятников, связь между которыми осуществляется с помощью магнитного взаимодействия. Устройство подвесов маятников позволяет менять расстояния между ними, что в свою очередь изменяет интенсивность взаимодействия. При изготовлении установки основную трудность представляет поиск достаточно сильных и в то же время удобных в креплении магнитов.
Цилиндрические и сферические магниты, подвешенные на нитях, обычно переворачиваются противоположными полюсами друг к другу, что приводит к быстрому затуханию волнового процесса. Выручили магнитные стержни из швейцарского магнитного конструктора «Geomag».
Рис. 7.13. Подвеска шариков |
Стержни повернуты одинаковыми полюсами к никелированному стальному шарику (рис. 7.13), создавая эффект «однополюсного магнита» (если брать в рассмотрение только шарик, а не всю систему со стержнями). За счет отталкивания однополюсных шариков передается взаимодействие, образуя волну в системе связанных осцилляторов. |
Демонстрация производится следующим образом. Один из крайних маятников отклоняют на небольшой угол и отпускают. Маятник начинает качаться, постепенно возбуждая колебания соседнего маятника, который, в свою очередь, раскачивает соседний и т. д. Через какое-то время первый шарик останавливается, зато последний в цепочке интенсивно раскачивается с максимальной амплитудой. Далее процесс повторяется в противоположном направлении.
Значительно труднее показать эффект вынужденных колебаний в этой системе. В этом случае надо с некоторой частотой постоянно воздействовать пальцем на первый маятник. От него с определенной частотой побежит волна, отразится от последнего маятника и вернется назад с какой-то фазой. Меняя частоту колебаний первого маятника, можно добиться того, что в системе из шести маятников установится стоячая волна с одним (последний маятник вообще не колеблется) или даже двумя узлами (последний и один из средних маятников не колеблется). Даже если опыт получится не в полной мере, сам процесс его проведения наглядно показывает, как влияет на распространение волны частота возбуждения, скорость, фазовые соотношения, дисперсия и т. п.