7.5. Связанные маятники

Цикл лекционных опытов

Во многих курсах общей физики переход к изучению волновых процессов происходит непосредственно после рассмотрения колебаний одиночного осциллятора (механического, электрического). При этом, называя волной распространение колебаний в среде, а среду – системой связанных осцилляторов, преподаватель оставляет многих студентов один на один с понятиями, не определенными и не изученными ранее. Действительно, что такое связанные осцилляторы и какими особенностями характеризуются их колебания? Эти вопросы должны быть обязательно затронуты в курсе общей физики. И совсем не обязательно тратить много времени на математические выкладки. При дефиците времени достаточно показать, как происходит обмен энергией сначала между двумя одинаковыми, потом между двумя различными маятниками и, наконец, в цепочке связанных маятников.

7.5.1. Симпатические маятники

Колебания двух одинаковых связанных маятников¹ позволяют наблюдать важный эффект перекачки энергии от одного маятника к другому. Уравнения движения маятников имеют вид

(1)

(2)

где х₁ и х₂ - координаты первого и второго маятника (рис. 7.7), k - коэффициент связи, который в дальнейшем будем считать малым (k << 1).

Рис. 7.7. Симпатические маятники.

Перейдем к другим координатам = x₁ + x₂, = x₁ - x₂. Складывая и вычитая (1) и (2), получаем

(3)

(4)

где

(5)

Решением уравнений (3), (4) являются гармонические функции

= a cos(₀t + ), (6)

= b cos(t + ), (7)

где a, b, ,  определяются начальными условиями. Таким образом, введенные координаты и изменяются по гармоническому закону, но с разными частотами. Это так называемые нормальные координаты (и, соответственно, нормальные колебания) системы связанных осцилляторов.

Возвращаясь к исходным координатам x₁ = ( + )/2, x₂ = ( - )/2, мы видим, что колебания каждого из связанных маятников представляют собой результат сложения (вычитания) гармонических колебаний с близкими частотами ₀ и . Правда, характерные для такого сложения биения возникают только при определенных начальных условиях, например, когда вначале отклонен только один из маятников. Картина смещений обоих маятников в этом случае показана на рис. 7.8.

Рис. 7.8.

Демонстрационная установка (рис. 7.9) представляет собой три маятника, два из которых имеют одинаковые собственные частоты (одинаковую длину), а частота третьего маятника существенно другая. Все три маятника подвешены к натянутой струне и, таким образом, оказываются связанными, так как колебания каждого из маятников приводят к периодическому закручиванию струны. Это закручивание и “чувствуют” другие маятники.

Рис. 7.9. Схема установки для демонстрации биений симпатических маятников

Для демонстрации эффекта перекачки энергии следует отклонить на небольшой угол шарик одного из двух одинаковых маятников и отпустить его. Колебания этого маятника будут постепенно раскачивать колебания второго маятника с той же длиной. В результате, первый маятник, в конце концов, остановится, а второй будет колебаться почти с той же амплитудой, которую имел первый маятник в начале демонстрации. После этого процесс повторяется, но теперь уже второй маятник постепенно раскачивает первый, передавая ему свою энергию.

В то же время маятник на длинном подвесе практически не реагирует на колебания “коротких” маятников, хотя на него также действует вынуждающая сила со стороны струны. Так что эффективная перекачка энергии возможна только между одинаковыми или почти одинаковыми маятниками, когда вынуждающая сила является квазирезонансной.

Рис. 7.10. Нормальные колебания симпатических маятников.

В этом же эксперименте можно легко показать нормальные колебания маятников. Для этого нужно отвести оба маятника на малый угол в одну сторону или в разные стороны и предоставить их самим себе (рис. 7.10). В обоих случаях маятники будут качаться, затухая, без биений.