Свойства делимости:

1. Если каждое из слагаемых делится на какое-то число, то и сумма их обязательно делится на это же число.

2. Если каждое слагаемое, кроме одного, делится на какое-нибудь число, а одно не делится, то сумма не делится на это число.

3. Если уменьшаемое и вычитаемое делится на какое-нибудь число, то и разность разделится на это число.

4. Если только одно из чисел – уменьшаемое или вычитаемое - делится на какое-нибудь число, а другое не делится, то и разность не делится на это число.

5. Если хоть один из сомножителей делится на какое-нибудь число, то и произведение их также разделится на это число.

Задание 5. Используя свойства делимости и данные о делимости на число k каждого слагаемого, определите, делится ли на k сумма или произведение.

1-е число	2-е число	3-ье число	Сумма	Произведение
д	д	д
н	д	д
д	н	д
д	д	н
н	н	д
н	д	н
д	н	н
н	н	н

Задание 6. Придумайте по два примера на каждое свойство делимости.

Задание 7. Укажите, какие из следующих утверждений ложные.

А) Если слагаемые не делятся на какое-то число, то и сумма не делится на это число.

Б) Если произведение двух чисел делится на какое-либо число, то хотя бы один из множителей делится на это число.

В) Если множители не делятся на какое-нибудь число, то и произведение не делится на это число.

Г) Если разность делится на какое-нибудь число, то и уменьшаемое, и вычитаемое делится на это число.

Задание 8. Приведите примеры взаимно простых чисел и чисел, имеющих несколько общих делителей, найдите для них НОД.

Задание 9. Найдите НОД и НОК для чисел:

А) 18, 63;

Б) 18, 84;

В) 63, 84;

Г) 18, 63, 84.

Задание 10. Вася рвёт газету на 8 частей, одну из получившихся частей - ещё на 8, и так далее. Сможет ли он разорвать газету на 2013 частей?

Задание 11. Докажите, что k³ - k делится на 6 при любом целом k.

Задание 12. Докажите, что если р – простое нечетное число, то р² – 1 делится на 4.

Задание 13. На какую цифру оканчивается число 3²⁰¹³?

Задание 14. Найдите знаменатель дроби, полученной после сокращения .

Задание 15 (Кенгуру-2004). Каков наибольший делитель числа 3²⁰⁰⁴ + 6, отличный от этого числа?

Задание 16. Запишите:

а) формулу чётного числа;

б) формулу нечётного числа;

в) формулу числа, кратного числу b;

г) формулу числа, которое делится на 17 с остатком 11.

Задание 17. При делении натуральных чисел на 4 образуются подмножества натуральных чисел, делящихся на 4 с разными остатками. Изобразите схематично, как множество натуральных чисел и эти подмножества связаны между собой. Приведите примеры чисел из каждого подмножества.

Существуют ли натуральные числа, не входящие ни в одно из этих подмножеств?

Задание 18. Не производя вычислений, докажите, что сумма 84 + 85 + 86 + 87 + 88+ 89 +90 делится на 7 и на 87.

Задание 19. Не используя калькулятор и вычисления в столбик, найдите остаток от деления на 25 значения выражения 5355 + 2724 - 10129.

Задание 20 (Кенгуру-1998). Каков остаток от деления 1997-значного числа 1

Домашнее задание 2 для 7-8 классов

Делимость и остатки

Задание 1. Пользуясь признаками делимости, определите, какие из чисел: 24, 45, 99, 101, 132, 256, 900, 12568 делятся на 3, 4, 6, 7, 8, 9 и 15.

Задание 2. Найдите последнюю цифру числа 2⁵⁰.

Задание 3. Не используя калькулятор и не вычисляя в столбик, найдите остаток от деления на 15 значения выражения: 2120 + 1918 - 1716.

Задание 4. Найдите НОД и НОК чисел: 5000, 2646, 420.

Задание 5. Как погрузить 21 бочку, из которых 7 полны яблок, 7 пусты, а 7 наполнены наполовину, на 3 машины так, чтобы на всех машинах было поровну бочек и яблок (пересыпать яблоки нельзя)?

Задание 6. Винни-Пух ходит в гости к Кролику каждый третий день, Пятачок ходит в гости к Кролику каждый четвёртый день, а ослик Иа – каждый пятый день. 1 декабря 2012 года у Кролика оказались вместе все друзья. Какого числа они впервые после 1 декабря снова встретились все вместе у Кролика?

Задание 7. Хулиган Петя рвёт школьную стенгазету: сначала на несколько частей, потом одну из получившихся частей - еще на столько же, как и в первый раз, и т.д. Проделав эту операцию 11 раз, он устал и попросил друга Васю посчитать число кусков. Вася насчитал 34 куска. На сколько кусков каждый раз разрывал Петя?

Задание 8. Найдите наименьшее число, дающее при делении на 2 остаток 1, при делении на 3 остаток 2, на 4 — остаток 3, на 5 — остаток 4, на 6 — остаток 5.

ТЕОРИЯ

7-8 классы