1. Содержательная формулировка задачи.

На лесопромышленном складе низкокачественная древесина в виде техноло­гических дров и отходов лесопиления перерабатывается на технологическую щепу и тарную дощечку, которые поставляются потребителям по договорным ценам. Струк­турная схема процесса производства на складе представлена на рисунке 1, из которого видно, что технологическая щепа и тарная дощечка изготовляются из двух видов сы­рья: технологических дров и отходов лесопиления.

Рисунок 1 - Структурная схема процесса производства на лесопромышленном складе

Максимально возможные объемы производства технологических дров и отходов лесопиления в смену составляют 80 м³ и 30 м³ соответственно. Традиционно на предприятии сложилось так, что на производ­ство 1 м³ технологической щепы направляется 1 м³ технологических дров и 0,5 м³ отходов лесопиления, а на производство 1м³ тарной дощечки 3 м³ технологических дров и 0,5 м³ отходов лесопиления. Сменные объемы реализации технологической ще­пы обычно больше или в крайнем случае, равняются объемам поставок тарной дощеч­ки. Объем реализации тарной дощечки не превышает 20 м³ в смену. Оптовые или до­говорные цены составляют: 1 м³ технологической щепы - 500 руб; 1 м³ тарной дощечки - 1000 руб. Исходные данные приводятся в таблице 1.

Таблица 1 - Исходные данные для постановки задачи рационального распределения ресурсов сырья

Сырье	Расход сырья на 1 м3 продукции, м3		Средний возможный объем производства сырья в смену, м3
	Технологической щепы	Тарной дощеч­ки
Технологические дрова	1	3	80
Отходы лесопиления	0,5	0,5	30
Цена реализации, руб./м3	500	1000

В соответствии с таблицей 1 и изложенным содержанием поставим следующую цель - какое количество технологической щепы и тарной дощечки необходимо про­изводить лесопромышленному складу, чтобы доход от их реализации был максима­лен?

2. Эвристическое решение задачи.

Решим содержательно описанную задачу с привлечением инженерной интуиции на предмет получения эффективного выбора в соответствии с поставленной целью.

Расход сырья на производство 20 м³ тарной дощечки (см. табл.1) составит: тех­нологических дров - 20*3=60 м³; отходов лесопиления - 20*0,5=10 м³. Остаток не­использованного сырья составляет: по технологическим дровам - 80-60=20 м³; по от­ходам лесопиления - 30-10=20 м³ . Остаток сырья используем для производства технологической щепы. Объем производства щепы определяется следующим образом: из остатка технологических дров, равного 20 м³, можно получить 20:1=20м³ технологической щепы; поскольку щепа производится из смеси двух видов сырья (технологических дров и отходов лесопиления), то проверяем достаточность объема отходов лесопиления на производство 20 м³ щепы - 20*0,5=10м³ отходов лесопи­ления будет использовано. Отсюда, на складе остаются не задействованными отходы в объеме 10 м³. Доход от продажи 20м³ технологической щепы (ограничение по спросу на этот объект выполняется) и 20 м³ тарной дощечки составит 500*20+1000*20=30 000 рублей.

3. Разработка математической модели и постановка задачи оптимизации распределения ресурсов сырья

3.1 Определение цели

Цель -найти объемы производства каждого из видов продукции ( тарной дощечки и технологической щепы), максимизирующие доход в рублях от реализации продукции с учетом ограничений на поставки и расход технологических дров с отходами лесопиления.

3.2 Формулировка проблемы Конкретные этапы формулировки проблемы включает в себя:

1) Определение факторов и переменных управления - объемы производства технологической щепы и тарной дощечки в смену .

2) Определение переменных состояния - максимально возможные объемы производства сырья, объемы расхода сырья на 1мЗ продукции, спрос на продукцию;

3) Определение критерия - доход от реализации продукции, спрос на продукцию;

4) Определение интервала времени моделирования - смены.

3.3 Построение математической модели

1) Введение обозначений переменных:

а) Х_щ - сменный объем производства технологической щепы, м3;

б) Х_д - сменный объем производства тарной дощечки, м3;

в) С_щ - цена реализации 1 м3 технологической щепы;

г) С_д - цена реализации 1 м3 тарной дощечки;

д) у - функция цели.

2) Разработка и построение функции цели у=500*Х_щ+1000*Х_д (целевая функция равняется сумме доходов от реализации тарной дощечки и технологической щепы)

3) Разработка ограничений на основе содержательной сущности в которой отражены:

а) Ограничение на расход сырья:

Х_щ+ З*Х_д ≤ 80 (2)

0,5Х_щ+ 0,5Х_д ≤ 30 (3)

б) Ограничения на объем реализации

Х_щ ≥ Х_д (4)

Х_д < 20 (5)

в ) Ограничения на неотрицательность переменных управления Х_щ, Х_д

Х_щ > 0 (6)

Х_д > 0 (7)

3.4 Математическое представление поставленной задачи.

На основании изложенного, математическая модель сформирована и задача оптимизации ставится следующим образом: определить сменные объемы производства технологической щепы Х_щ и тарной дощечки Х_д такие, при которых функция цели достигает максимума:

у=500Х_щ+1000Х_д => max (1)

и удовлетворяются ограничения:

Х_щ+ ЗХ_д ≤ 80 (2)

0,5Х_щ+ 0,5Х_д ≤ 30 (3)

Х_щ ≥ Х_д (4)

Х_д < 20 (5)

Х_щ > 0 (6)

Х_д > 0 (7)

4. Геометрическое решение поставленной задачи.

Графическое представление функции цели строится на основе выражения (1) и является плоскостью Р, уходящей в бесконечность при неограниченном возрастании Х_щ и Х_д.

При наличии ограничений вида (2)-(7) возможные решения (значения функции цели и объемы производства продукции) могут принадлежать лишь тем точкам плоскости Р, в которых одновременно удовлетворяются все ограничения. Совокупность этих точек определяет область допустимых решений (ОДР). Построение этой области проводится в системе координат Х_щ - Х_д (см. рис. 2) где ось (у) направлена от нас.

Хд,м3
90
80
70
60	(3)					(4)
50
40
30
20	E	D									(5)
10					C
А						B		(2)
0		10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	Хщ,м3

Рисунок 2 - Графическая интерпретация ОДР и процедуры поиска оптимального ре­шения

Для построения линий ограничений используется искусственный прием замены знаков неравенств на знаки равенств, а затем посредством постановки координат любых точек, лежащих по ту или иную сторону линий, определяется область, в которой все точки соответствую тому или иному неравенству. Направления действия ограничений на рисунке указаны стрелками.

Здесь многоугольник АВСDE является областью допустимых решений, ибо в каждой точке этой области выполняются все ограничения и любые решения в данной области допустимы. Их количество бесконечно, но среди них находится одно, которое является наилучшим, исходя из заданного критерия (дохода), т.е. оптимальным. Поиск оптимального решения производится посредством определения направления возрастания функции цели. Оно определяется посредством последовательного построения линий ее уравнения для заданных значений у. Оценивая значения у, производится перемещение прямой, в направлении возрастания ее значений до достижения ею границы перехода в область недопустимых решений. Этой границей является т.С, значения Х_щ и Х_д в которых определяются посредством решения системы уравнений, описывающая прямые (2) и (3):

Х_щ+ ЗХ_д ≤ 80

0,5Х_щ+ 0,5Х_д ≤ 30

Результат решения системы уравнений: X_д = 10 м³; X_щ=50 м³. При таких значениях сменных объемов производства технологической щепы и тарной дощечки доход от их реализации у=500*50+1000*10=35 000 руб.

По результатам эвристического решения у=30 000 рублей. Сопоставляя результаты эвристического и геометрического решения отметим, что наш выбор в первом случае оказался неэффективным по сравнению с геометрическим решением. величина потерь по доходу составила 5 000 рублей в смену, в год эта сумма при 2-х сменном режиме работы и количестве рабочих дней 250 составит 2 500 000 рублей.

5. Эффективный выбор технологических и управленческих решений в ситуации изменения ресурсов сырья, спроса и цен.

Анализ на чувствительность позволяет заглянуть в будущее и иметь представле­ние о возможных ситуациях и действиях в них (выработка тактики действия руково­дителя), в то время как полученное (статическое) решение на основе слепка с опреде­ленного момента времени действительно лишь для слепка этого действия.

5.1 Первая задача анализа на чувствительность.

Эта задача отвечает на вопрос: на сколько можно сократить или увеличить сменный объем производства технологических дров и отходов лесопиления и ресурсы спроса на технологическую щепу и тарную дощечку? Она подразделяется на две задачи:

а) Определение предельно допустимого увеличения объема дефицитного ресурса при одновременном улучшении оптимального решения;

б) Определение предельно допустимого снижения объема недефицитного ресурса, не ухудшающего оптимального решения.

Дефицитными являются ресурсы сменных объемов производства технологических дров и объема спроса на тарную дощечку, поскольку линии их ограничений образуют оптимальную точку С. Объем спроса на технологическую щепу и отходов лесопиления являются недефицитными.

Решим подзадачу А, определим объем допустимого увеличения ресурса технологических дров и отходов лесопиления для улучшения полученного оптимального значения (у).

Первоначально определяем объем допустимого увеличения ресурса технологических дров. В точке К ограничения (3) и (5) (см. рис 3) становится связывающим и оптималь­ному решению соответствует точка К, а многоугольник АВКЕ становится ОДР. При этом ограничения (3) и (5) становятся избыточными, и любой дальнейший рост запаса техно­логических дров не влияет ни на ОДР, ни на оптимальное решение. Поэтому поднимать уро­вень запаса технологических дров выше точки К не рационально, поскольку возникает про­блема утилизации избыточных запасов.

Хд,м3
90
80
70
60	(3’)
50
40
30											(4’)
20	E	D									(5)
10					C К
А						B		(2)
0		10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	Хщ,м3

Рисунок 3 - Графическая интерпретация анализа на чувствительность по дефицитному ресурсу тех­нологических дров и отходов лесопиления

Предельный уровень запасов технологических дров определяется следующим образом: определяются координаты точки К из системы уравнений, описывающих ограничения (3) и (5)

0,5Х_щ+ 0,5Х_д ≤ 30

Х_д < 20

Результат решения системы уравнений: X_д = 20 м³; X_щ = 40 м³. При таких значениях сменных объемов производства технологической щепы и тарной дощечки доход от их реализации у=500*40+1000*20=40 000 рублей, а величина допустимого увеличения объема технологических дров по сравнению с прошлым составит 20 м³.

Аналогично определяется объем допустимого изменения ресурса отходов лесопиления:

0,5*80+0,5*0 = 40 м³

у = 500*80 = 40 000 рублей.

Величина допустимого увеличения объема отходов лесопиления по сравнению с прошлым составит 10 м³.

Решение подзадачи Б, определим на сколько можно снизить сменный объем выпуска технологической щепы и тарной дощечки без ухудшения оптимального решения.

Линию (4) переносим параллельно в т.С.

Хд,м3
90
80
70
60	(3)									(4)
50
40
30
20	E	D									(5)
10					C К
А						B		(2)
0		10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	Хщ,м3

Для удобства поиска величины снижения преобразуем неравенство (4) следующим образом:

Х_щ – Х_д ≥ 0

- Х_щ + Х_д ≤ 0

-50 + 10 = - 40 м³

То есть 40 м³ может достигать разность между объемами реализации технологической щепы и тарной дощечки без ущерба для дохода.

Сведем данные результаты расчетов в таблицу 2.

Таблица 2 – Результаты решения первой задачи анализа на чувствительность

№	Ресурс	Тип ресурса	Максимальное изменение сменного объема запаса, м3	Максимальное изменение сменного дохода от реализации, р
1	Тех. дрова	Деф.	100-80 = 20	40 000 - 35 000 = 5 000
2	Отходы л/п	Деф.	40 – 30 = 10	40 000 - 35 000 = 5 000
3	Тар. дощечка	Недеф.	-10	0
4	Тех. щепа	Недеф.	-40	0