IV. Тригонометричні функції

a). y = sin x

1. Область визначення – множина всіх дійсних чисел: хR .

2. Множина значень: –1  у  1 .

3. Функція y = sin x непарна: y(–х) = sin (–x) = – sin x = –у(x).

4. Функція y = sin x періодична, Т = 2π.

б

Y

). y = cos x

1. Область визначення – множина всіх дійсних чисел: хR .

2. Множина значень: –1  у  1 .

3. Функція y = cos x парна: y(–х) = cos (–x) = cos x = у(x).

4. Функція y = cos x періодична, Т = 2π.

в ). y = tg x

1. Область визначення: .

2. Множина значень – множина всіх дійсних чисел: уR .

3. Функція y = tg x непарна: y(–х) = tg (–x) = – tg x = –у(x).

4. Ф ункція y = tg x зростає на всій області визначення.

5. Функція має вертикальні асимптоти м

6. Функція y = tg x періодична Т = π.

г ). y = сtg x

1. Область визначення: х  π п, пZ .

2. Множина значень – множина всіх дійсних чисел: уR .

3. Функція y = сtg x непарна: y(–х) = сtg (–x) = – сtg x = –у(x).

4. Функція спадає на всій області визначення.

5. Функція має вертикальні асимптоти: х  π п, пZ .

6. Функція y = сtg x періодична Т = π.

V. Обернені тригонометричні функції.

а). у = arcsin x

Оберненою тригонометричною функцією у = arcsin x називається взята на відрізку величина у, синус якої дорівнює х.

1. Область визначення: –1  х  1 .

2. Множина значень: .

3. Функція y = arcsin x непарна: y(–х) = arcsin (–x) = –arcsin x = –у(x).

4. Функція зростає на всій області визначення.

б ). у = arccos x

Оберненою тригонометричною функцією у = arccos x називається взята на відрізку [0; π] величина у, косинус якої дорівнює х.

1. Область визначення: –1  х  1 .

2. Множина значень: yπ .

3. Функція y = arccos x не є ні парною, ні непарною, але виконується рівність: y(–х) = arccos (–x) = π – arccos x .

4. Функція спадає на всій області визначення.

в). у = arctg x

Оберненою тригонометричною функцією у = arctg x називається взята на відрізку величина у, тангенс якої дорівнює х.

1. Область визначення: хR .

2. Множина значень: .

3. Функція y = arctg x непарна: y(–х) = arctg (–x) = – arctg x = –у(x).

4. Функція зростає на всій області визначення.

5. Функція y = arctg x має дві горизонтальні асимптоти: .

г ). y = arcсtg x

Оберненою тригонометричною функцією у = arcсtg x називається взята на відрізку (0; π) величина у, котангенс якої дорівнює х.

1. Область визначення: хR .

2. Множина значень: <y<π .

3. Функція y = arcсtg x не є ні парною, ні непарною, але виконується рівність: y(–х) = arcсtg (–x) = π – arcсtg x .

4. Функція спадає на всій області визначення.

5. Функція y = arcсtg x має дві горизонтальні асимптоти: у = 0; у = π.

Повний аналіз властивостей і побудова графіка тієї чи іншої елементарної функції (на відміну від основних елементарних функцій) може виявитись досить складною задачею. Загальні методи дослід­ження функцій і побудови їх графіків розглядаються в диференціаль­ному численні. Проте в деяких випадках ескіз графіка функ­ції можна побудувати, виконуючи перетворення вже відомого графіка іншої, простішої функції. Розглянемо деякі з цих перетворень.

Припустимо, що побудовано графік функції y = f (x), x  X. В на­веденій нижче таблиці вказано перетворення графіка функції y = f (x), які потрібно виконати, щоб дістати ескіз графіка нової функції.

№ п/п	Нова функція	Перетворення графіка функції y = f (x)
1	y = f (x) + b, b  0	Зсув по осі Oу вгору на b одиниць, якщо b > 0, або вниз на |b| одиниць, якщо b < 0.
2	y = f (x – a), a  0	Зсув по осі Oх праворуч на а одиниць, якщо а > 0, або ліворуч на |a| одиниць, якщо a < 0.
3	y = kf (x), k > 0	Розтяг уздовж осі Oу від осі Oх в k разів, якщо k > 1, та стиск уздовж осі Oу до осі Oх в разів, якщо 0 < k < 1.
4	y = – f (x)	Симетричне відображення графіка відносно осі Oх
5	y = f (kx), k > 0	Стиск уздовж осі Oх до осі Oу в k разів, якщо k > 1, або розтяг уздовж осі Oх від осі Oу в разів, якщо 0 < k < 1.
6	y = f (– x)	Симетричне відображення графіка відносно осі Oу.
7	y = |f (x)|	Симетричне відображення відносно осі Oх частини графіка, яка лежить нижче цієї осі. Решта графіка залишається без змін.
8	y = f (|x|)	Частина графіка, яка лежить ліворуч від осі Oу, відкидається; частина графіка що лежить праворуч від осі Oу, залишається і, крім того, симетрично відображається відносно осі Oу.

Приклад. Побудувати графік функції y = |x² – 4|x| + 3|.

Розв’язання. Функція визначена на всій числовій осі. Врахо­вуючи те, що x² = |x|², будемо мати

y = |x² – 4|x| + 3| = |(|x| – 2)² – 1|.

Побудову графіка даної функції починаємо з побудови графіка пара­боли у = х², до якого застосовуємо таку послідовність перетворень:

Процес перетворень показано на рис.:



12