3. Поняття про обернену функцію

Нехай однозначна функція y = f (x) задана на відрізку a, b і мно­жиною значень цієї функції є деякий відрізок c, d на осі Оy.

Нехай далі кожному yc, d відповідає тільки одне xa, b для якого f (x) = у. Тоді на відрізку c, d визначена однозначна функція, яка кожному y з відрізка c, d ставить у відповідність те значення x відрізка a, b, для якого f (x) = y. Ця функція позначається символом x = f ^–1(y) і називається обер­неною для функції y = f (x). Очевидно, що оберненою для функції x = f ^–1(y) буде сама функція y = f (x).Тому функції y = f (x) та x = f ^{– 1}(y) нази­вають взаємно оберненими. Наприклад, для функції y = 2x на будь-якому проміжку xa b оберненою буде функція x= y, визначена на відрізку [2a, 2b]. Вигляд оберненої функції ми знайшли, розв’язавши рівняння y=2x відносно x.

Графіки функцій y = f (x) та x = f ^(y) складаються з одних і тих же точок координатної площини, тобто збігаються. Якщо ж перейти в оберненій функції до звичних позначень (аргумент – x, функція – y), тобто замість x = f ^(y) розглянути функцію y = f ^(x), то графіки функ­цій y = f (x) та y = f ^x вже будуть відрізнятись, а саме, графік функції y = f ^x буде симетричним з графіком функції y = f (x) від­носно бі­сектриси y = x першого – третього координатних кутів (рис 3).

У мови існування та деякі властивості оберненої функції будуть розглянуті далі.

4. Елементарні функції

При побудові класу елементарних функцій використовуються так звані основні елементарні функції, до яких відносяться:

степенева функція y = x^ ( – дійсне число);

показникова функція y = a^x (a > 0, a  1 – дійсне число);

логарифмічна функція y = log_a x (a > 0, a  1 – дійсне число);

тригонометричні функції y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x;

обернені тригонометричні функції y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Ці функції, їх основні властивості розглядаються в шкільному курсі математики. На рис 4 – 23 зображено ескізи графіків деяких основ­них елементарних функцій.

Основні елементарні функції, їх графіки та властивості

І. Степенева функція у = х^п,

де х – незалежна зміна (аргумент), п – стала.

а). Лінійна функція y = kx + b.

1. Область визначення – множина всіх дійних чисел: хR .

2. Множина значень – множина всіх дійсних чисел: yR .

3. Функція y = kx + b не парна, ні непарна.

4. Функція зростає при k > 0 і спадає при k < 0.

5. Графіком функції y = kx + b є пряма лінія для якої k = tg  . Число k називається кутовим коефіцієнтом прямої і дорівнює тангенсу кута, який пряма утворює з додатнім напрямом осі ОХ.

Число b дорівнює величині відрізка, який пряма y = kx + b відтинає на осі OY.

б ). Функція у = х².

1. Область визначення – множина всіх дійсних чисел: хR .

2. Множина значень – всі невід’ємні числа: y > 0.

3. Функція у = х² парна: у(–х) = (–х)² = х² = у(х).

4. Функція у = х² зростає при x > 0, спадає при x < 0.

5. Графіком функції є парабола.

6. Всі властивості, наведені для функції у = х², мають місце для функції у = х^п, де п – парне число.

в ). Функція у = х³.

1. Область визначення – множина всіх дійсних чисел: хR .

2. Множина значень – множина всіх дійсних чисел: уR .

3. Функція у = х³ парна: у(–х) = (–х)³ = –х³ = –у(х).

4. Функція зростає на всій області визначення.

5. Графіком функції є кубічна парабола.

6. В сі властивості, наведені для функції у = х³, мають місце для функції у = х^п, де п – непарне число.

г). Функція

1. Область визначення – невід’ємні числа: х[0; +).

2. М ножина значень – невід’ємні числа: y[0; +).

3. Функція ні парна, ні непарна.

4. Функція зростає на всій області визначення.

5. Г рафік функції зображено на рисунку.

6. В сі властивості, наведені для функції , мають місце для функції , де п – парне.

д ). Функція

1. Область визначення – множина всіх дійсних чисел: хR .

2. М ножина значень – множина всіх дійсних чисел: уR .

3. Функція непарна: .

4. Функція зростає на всій області визначення.

5. Г рафік функції зображено на рисунку.

6. В сі властивості, наведені для функції , мають місце для функції , де п – непарне.

ж ). Функція .

1. Область визначення: х(–; 0)(0; +).

2. Множина значень: y(–; 0)(0; +).

3. Функція непарна: .

4. Функція спадає на всій області визначення.

5. Графіком функції є гіпербола.

ІІ. Показникова функція у = а^х,

д е основа a – стала (a > 0, a  1), x – аргумент (незалежна змінна).

1. Область визначення – множина всіх дійсних чисел: хR .

2. Множина значень: у(0; +) .

3. Функція ні парна, ні непарна.

4. Функція у = а^х зростає, якщо a > 1 і спадає, якщо 0 < a < 1.

5. Графік функції у = а^х має асимптоту у = 0 (вісь Ох).

6. Графік функції у = а^х проходить через т. (0; 1).

І ІІ. Логарифмічна функція y = log_a x.

1. Область визначення – всі додатні числа: х(0; +).

2. Множина значень – множина всіх дійсних чисел: уR .

3. Функція ні парна, ні непарна.

4. Функція y = log_a x зростає, якщо a > 1 і спадає, якщо 0 < a < 1.

5. Графік функції y = log_a x має асимптоту х = 0 (вісь Оу).

6. Графік функції y = log_a x проходить через т. (1; 0).