Розділ ІV „ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ”

Функція

1. Поняття функції

Різноманітні процеси природи дають нам численні приклади явищ, в яких зміна одних величин приводить до зміни інших. Для вивчення того чи іншого явища треба встановити взаємозв’язок між величинами, які його описують, і дослідити його властивості. Такий взаємозв’язок у математиці задається за допомогою функції. Наведемо ряд прикладів.

Розглянемо дві змінні величини x та y з областями зміни X та Y відповідно ( X, Y – деякі числові множини).

Означення. Змінна y називається функцією змінної x, якщо кожному значенню x з її області зміни X за деяким правилом чи зако­ном поставлено у відповідність одне певне значення yY.

При цьому x називається незалежною змінною або аргументом функції. Область зміни X незалежної змінної називається областю визначення функції.

Той факт, що y є функцією від x, записують так: y = f (x). Буквою f в цьому записі позначено закон відповідності між змінними x та y. Значення y₀Y змінної y, яке відповідає конкрет­ному значенню x₀X аргумента, називають значенням функції y = f (x) при x = x₀ і позначають y₀ = f (x₀).

Множину всіх значень функції, яких вона набуває на елементах множини , називають областю зміни функції або множиною її значень. Область визначення та множину значень функції y = f (x) позначають відповідно ще й так: D(y) та E(y) або D( f ) та E( f ).

Далі нам доведеться, в основному, мати справу з областями виз­на­чення функцій двох типів. Якщо областю визначення функції є мно­жина (або підмножина) натуральних чисел, таку функцію будемо на­зивати функцією цілочисельного аргументу. У випадку, коли об­ластю визначення функції є один або кілька проміжків числової осі, функцію називають функцією неперервного аргументу.

При одночасному розгляді кількох різних функцій використову­ють різні букви для позначення кожного із законів відповідності, нап­риклад: y = f (x), y = g(x), y = F(x) і т.і. Замість y = f (x) часто пишуть y = y(x), позначаючи однією буквою і функцію, і закон відповідності.

Інколи в означенні поняття функції допускають, що кожному значенню xХ відповідає не одне, а кілька значень yY. В цьому ви­падку функцію y = f (x) називають багатозначною на відміну від виз­наченого вище поняття однозначної функції. Дві функції вважаються рівними або тотожними, якщо вони мають одну й ту ж область визна­чення і один закон відповідності.

2.Основні способи задання функцій

Щоб задати деяку функцію y = f (x), потрібно задати, по-перше, область визначення функції X і, по-друге, закон відповідності, за яким кожному дійсному числу x ставиться у відповідність деяке дійсне число y.

Основними способами задання функцій є аналітичний, таблич­ний та графічний способи.

При аналітичному способі задання функції закон відповіднос­ті між значеннями аргументу та значеннями функції подається у виг­ляді однієї або кількох формул (аналітичних виразів). Наприклад, формула y=2^x-xsinx, x задає на множині дійсних чисел деяку функцію.

Функція

задана на відрізку [– 1, 2] за допомогою трьох формул.

Іноді функцію задають аналітично і не вказують її область визначення. В цьому випадку під областю визначення такої функції розуміють множину всіх дійсних значень аргументу, для яких аналі­тичний вираз має зміст і в процесі проведення всіх необхідних обчис­лень за цим виразом одержуються тільки дійсні числа. Наприклад, областю визначення функції y = буде множина тих значень аргументу x, для яких виконується умова x² – 2x – 3  , тобто множина D(y) = ]– ; – 1][3; + [.

Табличний спосіб задання функції полягає в тому, що для виписаних у певному порядку значень аргументу x₁, x₂, ..., x_n вказують відповідні значення функції y₁, y₂, ..., y_n.

Такими є, наприклад, таблиці тригонометричних функцій, таблиці логарифмів, таблиці результатів фізичних експериментів, в яких визначають залежність однієї величини від другої і т.і.

x	X1	x2	...	xn
y	Y1	y2	...	yn

Існують методи, які доз­воляють наближено знаходити значення функції, що відпові­дають проміжним значенням аргументу, відсутнім у таблиці (так звані методи інтерполяції).

У практиці фізичних досліджень широко використовується гра­фічний спосіб задання функції. Для з’ясування суті цього спо­собу введемо спочатку поняття графіка функції y = f (x) з областю виз­на­чення x  X. В декартовій прямокутній системі координат Оxy роз­гля­немо множину X точок на осі Оx, яка відповідає області визначення функції. Кожній парі (х, у), де x  Xy = f (x), поставимо у

відповід­ність точку М площини з координатами (x, f (x)). Сукупність всіх то­чок пло­щини, абсциси яких є значеннями аргументу функції, а орди­нати – відповідними значеннями функції, називається графіком даної функції (рис 1).

Для переважної більшості функцій, які розглядаються у нашому курсі, областю визначення є один або кілька проміжків, а графіком – деяка крива. Наприклад, графіком функції y = x³, x]– , + ] є кубічна парабола (рис 2). Одночасно рівняння y = x³ буде рівнянням цієї параболи в системі координат Оxy. Проте зустрічаються випадки, коли графік функції, визначеної на деякому проміжку, важко назвати кривою. Прикладом такої функції може служити функція Діріхле^:

.

Якщо в прямокутній системі координат на площині задана деяка сукупність точок M(x; y), причому ніякі дві з цих точок не лежать на одній прямій, паралельній осі Оy, то ця сукупність точок визначає цілком певну однозначну функцію y = f (x). Значеннями аргументу функції є абсциси точок, значеннями функції – відповідні ординати; сама сукупність точок є графіком цієї функції.

Графічним способом задання функції широко користуються при дослідженнях, пов’язаних з використанням приладів-самозапису­вачів (осцилограф, барограф, електрокардіограф і т.і. ). Крива, що її виписує прилад, задає деяку функцію, властивості якої треба знати для вивчення того чи іншого процесу.