Тема 2: Многогранники та тіла обертання.

План

1. Многогранники. Теорема Ейлера про многогранники.

2. Призма, прямокутний паралелопіпед, піраміда. Зображення на площині.

3. Тіла обертання: циліндр, конус, куля, їх зображення на площині.

« 1 »

Означення 1 Многогранником називається тіло, поверхня якого складається із скінченого числа плоских многогранників.

Плоскі многогранники, які утворюють поверхню многогранника, називають його гранями, сторони граней називаються ребрам, а вершини граней – вершинами многогранника.

Означення 2 Многогранник називається опуклим, якщо він розміщений по один бік від площини кожної його грані.

Приклади опуклих многогранників – куб, призма, піраміда.

Означення 3 Відрізок, який сполучає дві вершини многогринника, що належить одній грані, називається діагоналлю многогринника.

Означення 4 Площина, що проходить через 3 вершини многогранника, які не лежать в одній грані, називаються діагональною площиною.

Означення 5 Правельним називається опуклий многогранник, у якого всі грані є рівні правельні многогранники і в кожній вершині многогранника сходиться одне і те саме число ребер.

Теорема Ейлера У кожному опуклому многограннику з числом граней Г, числом вершин В і числом ребер Р сума числа вершин і числа граней перевищує число ребер на 2, тобто В+Г=Р+2. (Без доведення) Перевіримо правельність тероеми Ейлера на прикладі куба: В=8; Г=6; Р=12; 8+6=12+2; 14=14.

Теорема Ейлера дає один із способів виконання класифікації правильних многогранників.

Теорема Різних видів правильних многогранників існує п’ять.

Доведення: Існують такі правельні многогранники: трикутник, 4-кутник, 5-кутник і т. д.

І. Нехай грані многогранника є правельні трикутники. У правельному ∆ кути=60º.

У кожній вершині многогранника може сходитися 3,4,5 трикутників, бо 3·60º=180º<360º, 5·60º=300º<360º, 4·60º=240º<360º але 6·60º=360º<360º.

Отже, правельних многогранників, гранями якого є правельні ∆ є три види:

1) тетраедр Г=4, В=4, Р=6;

2) октаедр Г=8, В=6, Р=12;

3) ікосаедр Г=20, В=12, Р=30.

І І. Нехай гранями многогранника є правельні 4-кутники (квадрати). Кожен кут квадрата = 90º. У кожній вершині многогранника може сходитись лише 3 квадрати, бо 90º·3=270º<360º але 90º·4=360º<360º.

Отже, може бути лише один вид правельного многогранника, гранями якого є квадрати: 4) куб (гексаедр) Г=6, В=8, Р=12.

ІІІ. Нехай гранями многогранника є правельні 5-кутники. Кожен кут його 108º. Кожній вершині може сходитися лише з п’ятикутники, бо 3·108º=324º<360º, але 4·108º>360º. Тому 5) додекаедр Г=12, В=20, Р=30.

П равельні 6-кутники, 7-кутники можуть бути гранями правельного многогранника, бо кути 6-кутника 120º і 120º·3=360º<360º.

« 2 »

Означення 6 Призмою називається многогранник, що складається з двох плоских многокутників, які лежать у різних площинах і суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що сполучають відповідні точки, цих многокутників.

Многокутники називаються основами призми, а відрізки, які сполучають відповідні вершини – бічними ребрами призми. Із властивостей паралельного перенесення випливає: 1) основи призми рівні;

2) основи лежать в паралельних площинах;

3) бічні ребра паралельні;

4) бічні ребра рівні;

5) бічні грані є паралелограмами.

Висотою призми називається відстань між площинами її основ. Діагональ

призми – це відрізок, що сполучає дві вершини, які не належать одній грані. Діагональним перерізом призми називається переріз площиною, яка проходить через два бічних ребра, що не належить одній грані.

Означення 7 Призма називається прямою, якщо її бічні ребра, перпендикулярні до основи, інакше призма називається похилою.

Означення 8 Пряма призма називається правельною, якщо її основи є правельними многокутниками. А₁ С₁

П обудуємо зображення правельної 3-кутної призми. Спочатку

будуємо зображення нижньої основи – правельний трикутник. В₁

Потім через вершини ∆ проводимо вертикальні прямі і на

кожній з них від вершин відкладаємо рівні відрізки. А С

Сполучаємо кінці цих відрізків – отримаємо верхню основу. В

Означення 9 Паралелепіпедом називається призма, осною якої є паралелограм.

Означення 10 Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні до основ, інакше називається похилим.

Бічні грані прямого паралелепіпеда – прямокутники.

Означення 11 Прямий паралелепіпед називається прямокутним, якщо його основа є прямокутником.

П обудуємо зображення прямокутного паралелепіпеда. В₁ С₁

В₁D-діагональ

ВВ₁D₁D-діагональний переріз А₁ D₁

ВВ₁=АА₁=СС₁=DD₁=H – бічні ребра.

АВСD, A₁B₁C₁D₁ – основи. B C

A D

Означення 12 Пірамідою називається многогранник, який складається із плоского многогранника (основи піраміди), точки, що не лежать в площині основи (вершини піраміди), та всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи.

Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називається бічними ребрами. Відстань від вершини піраміди до площини основи називається висотою піраміди (це перпендикуляр з вершини до основи).

Означення 13 Піраміда називається правильною, якщо її основа є правильний многокутник, а висота проектується в центр цього многокутника.

Розглянемо зображення правильної 3-кутної піраміди. Для побудови зображення правильної піраміди спочатку будуємо зображення правильного многокутника, що лежить в основі піраміди. Потім знаходимо точку О – центр основи. Через т.О проводимо вертикальну пряму, вибираємо на ній точку S – вершину піраміди. Точку S сполучаємо з вершинами основ і дістаємо зображення піраміди. S

∆ АВС – основа піраміди;

т.S – вершина;

т.О – центр ∆АВС (точка перетину медіан);

SO – висота; A C

SA, SB, SC – бічні ребра. O

B

« 3 »

Простішими тілами обертання є циліндр, конус і куля.

Означення 14 Циліндром називається тіло, яке складається з двох кругів, що суміщаються паралельним перенесенням і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки кругів.

Круги називають основами циліндра, а відрізки, що сполучають відповідні

точки тіл – твірними циліндра. Пряма, яка проходить через центри основ називають віссю циліндра.

Із властивостей паралельного перенесення випливає:

1) основи циліндра рівні;

2) основи лежать в паралельних площинах;

3) твірні паралельні;

4) твірні рівні.

Означення 15 Циліндр називається прямим, якщо його твірні перпендикулярні площинам основ. Надалі під циліндром будемо розуміти прямий циліндр;

В исота циліндра – це відстань між площинами його основ. Вона паралельна твірній і осі прямого циліндра. В₁

Прямий циліндр можна отримати при обертанні О₁

прямокутника навколо прямої, яка проходить через одну А₁

з його сторін. Ця пряма є віссю циліндра. Поверхня, яку

описує сторона прямокутника, паралельна осі обертання,

називається бічною поверхнею циліндра. Переріз циліндр В

площиною, яка проходить через його вісь, називається осьовим О

перерізом циліндра, він має форму прямокутника. Площина А

перпендикулярна до осі циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, яке дорівнює колу основи циліндра.

ОО₁ – вісь циліндра, т.О і т.О₁ – центри основ,

АА₁=ВВ₁ – твірні та висоти, ОА=ОВ=О₁А₁=О₁В₁ – радіуси основ.

АА₁В₁В – осьовий переріз, прямокутник.

Означення 16 Конусом називається тіло, яке складається із круга – основи конуса, точки, що не лежить в площині цього круга – вершини конуса, і всіх відрізків, що сполучають вершину конуса з точками основи.

Пряма, яка проходить через вершину конуса і центр основи називається віссю.

Відрізки які сполучають вершину з точками кіл основи називаються твірними. Висотою конуса називається перпендикуляр, опущений із його вершини на площину основи.

Означення 17 Конус називається прямим, якщо його вісь перпендикулярна до основи.

Надалі, будемо розглядати тільки прямий конус. Прямий конус можна отримати при обертанні прямокутного трикутника навколо прямої (осі обертання), що містить його катет. Гіпотенуза трикутника утворює при обертанні поверхню, яка називаєтьсябічною поверхнею конуса. Повна поверхня конуса складається з бічної поверхні та основи конуса. Переріз конуса площиною, що проходить через його вісь, називається осьовим перерізом він має форму рівнобедреного трикутника. Площина, перпендикулярна до осі конуса, S

п еретинає його бічну поверхню по колу,

а площина, яка утворює з віссю кут 0º∟α∟90º,

перетинає його по еліпсу. S – вершина конуса,

SO – вісь і висота, ОА=ОВ=R – радіуси, B

SA=SB – твірні.

∆SAB – осьовий переріз, рівнобедрений трикутник. O

A

Означення 18 Зрізаним конусом, називається частина конуса, обмежена його основою та перерізом, паралельним площині основи.

Зрізаний конус можна дістати обертанням рівнобедреної трапеції навколо її осі симетрії. Бічна сторона трапеції називається твірною зрізаного конуса, а круги, утворені при обертанні основ трапеції – основами зрізаного конуса. Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють половинам основ трапеції.

Означення 19 Кулею називається тіло, яке складається з усіх точок простору, які знаходяться на відстані, не більшій за дану, від даної точки, яка називається центром кулі, а відстань – радіусом.

К уля утворюється при обертанні півкруга навколо прямої, яка проходить через діаметр півкруга. Поверхня кулі називається сферичною поверхнею або просто сферою. Сфера складається з усіх точок простору рівновіддалених від центра кулі. Площина, яка проходить через центр кулі, називається діаметральною. Кожний переріз кулі площиною є круг, а сфери – коло. Переріз кулі діаметральною площиною називається великим кругом,

а переріз сфери діаметральною В

площиною – великим колом. О

АВ – діаметр, т.О – центр кулі, ОА=ОВ=R. А

Означення 20 Кульовий сегмент – це частина кулі,

яку відтинає від неї площина.

Означення 21 Кульовим шаром називається частина кулі,

яка містить між двома паралельними площинами, що перетинають кулю.

Означення 22 Кульовий сектор – це тіло, яке утворюється з кульового сегменту і конуса так: якщо нульовий сегмент менший за півкулю, то його доповнюють конусом; якщо сегмент більший від півкулі, то конус вилучається.

кульовий сегмент

кульовий

шар

кульвий сектор

сегмент кульовий

Означення 23 Кульовий пояс – це бічна поверхня кульового шару.