Тема 1: Геометричні побудови на площині

План

1. Короткі історичні відомості про виникнення геометрії.

2. Система геометричних понять, що вивчаються в школі.

3. Побудова геометричних фігур з допомогою циркуля та лінійки.

« 1 »

Геометрія – це наука про просторові форми, розміри і співвідношення геометричних образів, фігур, тіл, які є узагальненням форм матеріальних об’єктів.

Геометрія походить від 2-х слів - heо земля, metros міряти. До виникнення геометрії призвели задачі, пов’язані із землемірством. Хоча на сучасному етапі вона займається далеко не землемірством.

В розвитку геометрії виділяють 4 періоди:

І Початок 1 періоду встановити важко. Найстародавніші роботи, які дійшли до нас, датуються 17ст. до н.е. цей період характеризується нагромадженням фактів і встановленням залежностей геометричних образів. На цьому етапі факти нагромаджувалися у стародавніх Єгипті, Китаї, Греції, Вавилоні, Японії. В кінці 1-го періоду (6ст. до н.е.) початкові відомості були перенесенні у Грецію, де оформилися у систему фактів, які строго доводяться.

ІІ 6ст до н.е. – 17ст. до н.е. в цьому періоді створена книга Евкліда « Початки ». Ця праця складається з 15окремих книг, написана Евклідом (14 книг) і його учнями в 300р. до н.е. В ній наука геометрія систематизована в такому вигляді, як її вивчають тепер у школах чи вузах. Протягом 20ст. геометрія збагачувалася новими фактами і методами, але зберегла основні принципи до наших днів.

ІІІ 17ст. – поч. 19ст. н.е. Один з найважливіших фактів-введення в 1637р. методу координат та поняття змінної величини Рене Декартом. Суть методу координат: будь-яка точка геометричного образу розташованого на площині характеризується парою чисел (координатами). Положення образів на площині характеризується формулами, які виражають залежність між координатами точок. У зв’язку з цим в геометрії виділився окремий розділ – аналітична геометрія. Також виділяють такі галузі геометрії: диференціальна (дослідження геометричних образів методами вищої математики), проективна, нарисна.

ІV 19ст. – до наших днів. Початок 4 періоду пов’язаний з іменем Лобачевського, який у 1826р. відкрив неевклідову геометрію (геометрію Лобачевського) і встановив, що геометрію Евкліда можна розглядати як окремий випадок його геометрії. Це підтвердили Гільберт, Ріман, Больяї. Відрізняється геометрія Лобачевського від геометрії Евкліда лише 5 постулатом (аксіомою) про паралельні прямі.

У Евкліда: через дану точку до даної прямої можна провести тільки одну пряму, паралельну даній.

У Лобачевського: через дану точку до даної прямої можна провести хоча б 2 прямі, паралельні даній.

Сучасну науку геометрію поділяють на планіметрію (площина) і стереометрію (простору).

« 2 »

В початковій школі вивчаються геометричні поняття, формуються вимірювальні навички, навички зображення геометричних фігур та обчислювальні навички розв’язування задач геометричного змісту.

Програмою передбачено, щоб школярі засвоїли такі поняття: пряма лінія, обмежені і необмежені лінії, крива лінія, відрізок, ламана та її види – замкнена і незамкнена, многокутник та його види – 3-кутник, 4-кутник, 5-кутник, 6-кутник; види

4-кутників – прямокутник і квадрат; коло і круг та їх елементи – центр, радіус, діаметр, хорда, септор, сегмент; класифікація геометричних фігур: кутів та прямі, гострі та тупі; трикутників за кутами (прямокутні, гострокутні, тупокутні) і за сторонами (різносторонні, рівнобедрені і рівностороні); стереометричні фігури – призма, прямокутний паралелепіпед, куб, піраміда, конус, циліндр, куля; поняття площі та довжини, одиниці їх вимірювання та співвідношення між ними.

В систематичному курсі геометрії в середніх і старших класах вивчаються планіметричні і стереометричні фігури.

Учні повинні засвоїти такі поняття: точка, відрізок, геометрична фігура, зокрема трикутники і многокутники та їх види; 4 кутники та їх види – паралелограм, трапеція; види паралелограмів – ромб, прямокутник; види прямокутника і ромба – квадрат; види трапецій – прямокутна, рівнобедрена; різні кути – суміжні, вертикальні, при паралельних прямих. Властивості многокутників: коло і круг властивості його елементів. В планіметрії розглядаються задачі пов’язані з цими геометричними фігурами на обчислення, побудову фігур. Розглядаються відношення між геометричними фігурами – рівності, подібності; геометричні перетворення – паралельне перенесення, поворот, центральна та осьова симетрія, гомотетія. Крім того розглядаються поняття векторної алгебри – вектори та дії з ними.

У старших класах розглядаються стереометричні тіла – призма, пряма і похила; паралелепіпед, куб; циліндр, конус, піраміда, куля. Розглядаються задачі на обчислення площ поверхонь і об’ємів цих тіл.

« 3 »

Суть задач на побудову геометричних фігур на площині полягає в тому, що треба за даними її елеметнами знайти інші (шукані) елементи, які перебувають один до одного і до даних елементів у певних співвідношеннях і які можна побудувати за допомогою певних креслярських інструментів.

Задача на побудову циркулем і лінійкою вважається розв’язаною, якщо вона зведена до виконання скінченого числа елементарних операцій, виконуваних циркулем і лінійкою.

До найпростіших побудов віднесемо: побудова променя, відрізка, прямої, кола, дуги кола, точки перетину непаралельних прямих, кола і прямої, двох тіл, побудова точки, яка належить або не належить даній фігурі.

Практично задачу на побудову зводять не до елементарних операцій, а до певних задач на побудову, які називаються основними задачами на побудову циркулем і лінійкою.

Основні задачі на побудову:

1) Побудова відрізка, що дорівнює даному відрізку.

2) Побудова кута, що дорівнює даному куту.

3) Поділ відрізка пополам.

4) Поділ кута пополам.

5) Поділ відрізка на кілька рівних частин.

6) Побудова прямої, перпендикулярної до даної, яка проходить через дану точку.

7) Побудова прямої, паралельної до даної, яка проходить через дану точку.

8) Побудова трикутника: за трьома сторонами; за двома сторонами і кутом між ними; за стороною і двома прилеглими кутами.

9) Побудова прямокутного трикутник: за гіпотенузою і катетом; гіпотенузою і гострим кутом.

10) Побудова кола, вписаного і описаного навколо трикутника.

11) Побудова дотичної до кола, яка проходить через дану точку.

12) Побудова спільної дотичної до двох даних тіл.

Задача на побудову фігури, яка визначається її n точками, буде визначеною, якщо в умові маємо 2n-3 даних.

Для 3 – кутника: 2·3-3=3 – елементи;

Для 4 – кутника: 2·4-3=5 – елементів;

Для 5 – кутника: 2·5-3=7 – елементи.

Схема розв’язування задач на побудову:

1) Аналіз, під час якого на основі відомих теорем і властивостей встановлюються залежності між даними і шуканими елементами фігури з метою відшукання способу розв’язання. Для цього припускають, що задача розв’язана і виконавши рисунок від руки, з’ясовують послідовність побудов, які приводять до розв’язання задачі.

2) Побудова, полягає в послідовному переліку і виконанні найпростіших і основних побудов, намічених в аналізі.

3) Доведення, полягає у встановленні факту, що побудована фігура завільняє всі умови задачі.

4) Дослідження, полягає в з’ясуванні питання про те, чи при будь-якому виборі даних задача має розв’язок та про кількість різних розв’язків задачі.

Розглянемо, як виконуються основні геометричні побудови циркулем і лінійкою.

2 *

E P

A B

D K C

План побудови:

1) Будуємо промінь ВС.

2) Будуємо коло довільного радіусу з центром в т.А (перетинає сторони в т.Д і Е).

3) Будуємо коло того ж радіусу в т.В, перетинає промінь ВС в т.К.

4) Вимірюємо циркулем розхил ДЕ і відкладаємо на дузі КР=ДЕ.

5) Будуємо промінь ВР.

∟PBK= ∟EAD.

Доведення: AE=AD=BP=BK=r, ED=KP

За ІІІ ознакою ∆EAD=∆PBK.

Звідси ∟EAD=∟PBK.

3 *

План побудови: С

1) Будуємо два кола з центрами в точках А і В радіусом

більшим, ніж ½АВ (перетин т.С і D). А О В

2) Пряма СD перетинає АВ в його середині – т.О.

Доведення: АС=СВ=ВD=АD. D

∆АDС= ∆ВDС за ІІІ ознакою. Звідси ∟АСD=∟ВСD.

СО – бісектриса, медіана. Отже, т.О – середина АВ

4*

План побудови:

1) Будуємо коло з центром в т.А довільного радіуса, яке перетинає

с торони кута в т.В і С.

2) Будуємо два кола з центрами в т.В і т.С радіуса більше, ніж ½ВС. В D

(точка перетину тіл D).

3) Будуємо промінь АD – бісектрису ∟А. А

С

Доведення: ∆АВD= ∆АСD за ІІІ ознакою. Звідси ∟ВАD=∟САD.

5*

А В

План побудови:

1) Будуємо промінь, який виходить з одного кінців відрізка.

2) На промені відкладаємо стільки рівних відрізків, на скільки частин

необхідно поділити даний відрізок АВ.

3) Сполучаємо кінець останього відрізка (т.С) з точкою В (ВС)

4) Через кінці відкладених відрізків проводимо прямі, паралельні ВС,

які поділяють відрізок АВ на n рівних частин. С

Доведення: Будується на теоремі Фалеса.

6*

а) План побудови:

1 ) На прямій а відкладаємо відрізки АВ=АС. D

2) Будуємо 2 кола з центрами в т.В і С радіусом більше,

ніж ½ВС, які перетинаються в т.D і Е.

3 ) Проводимо пряму DЕ, DЕ а a

B A C

Доведення: ВD=CD=CE=BE (за побудовою) E

ВА=АС (за побудовою) DA – медіана і висота

рівнобедреного ∆BDC. Отже, DA а.

б) План побудови:

1 ) Будуємо дугу кола з центром в т.А радіуса більшого за відстань

від т.А до прямої а.(точки В і С). А

2) Будуємо 2 дуги кіл з центром в т.В і С радіуса більшим,

ніж ½ВС (перетин т.D). О а

3 ) Будуємо пряму АD. АD а. В С

Доведення: АВ=АС (за побудовою r₁); ВD=DC (за побудовою r₂) D

∆АВD=∆ACD за ІІІ ознакою. Звідси ∟BAD=∟САD

За властивістю рівнобедреного трикутника.

АО – бісектриса і висота. Отже АD а.

7*

З адача зводиться до побудови прямої b а, яка проходить

через точку А, і прямої С в, яка проходить через т.А А с

(дивись задача 6б і 6а) а

Д оведення: b а Λ bΛc а||c. b

8*

а) Побудова трикутника за трьома сторонами.

План побудови:

1 ) На прямій а відкладаємо відрізок АВ=а. а

2 ) Будуємо дугу кола з центром в т.А радіуса r=b. b C

3 ) Будуємо дугу кола з центром в т.В радіуса r=с. c

4 ) Знаходимо точку перетину дуг – т.С.

5) Будуємо ∆АВС – шуканий.

A B

Дослідження:

Дана задача не завжди має розв’язок, а лише тоді, коли

виконується нерівність трикутника АВ+ВС >АС(АВ+АС > ВС; ВС+АС > АВ).

9*

а) Побудова прямокутного трикутника за гіпотенузою і катетом.

П лан побудови: а

1 ) На прямій а відкладаємо відрізок АВ=b. b

2 ) Через т.А будуємо пряму АС а.

3 ) З точки В будуємо дугу кола радіуса а, яка перетинає b а

пряму АС в т.D. ∆АВD – шуканий. А В

Доведення: ∆АВD – прямокутний C

АВ=b, BD=a. D

Дослідження: Задача має розв’язок, коли а>b.

10*

а) Побудова кола, вписаного у трикутник. Центр вписаного

кола лежить у точці перетину бісектрис кутів трикутника.

План побудови: B

1 ) Будуємо бісектриси кутів А і С. (див. задача 4).

Позначимо точку їх перетину О. N M

2) З т.О будуємо перпендикулярну пряму до будь-якої O

сторони трикутника (позн. ОК).

3) Будуємо коло з центром в т.О радіуса ОК. A C

Дане коло – вписане у ∆АВС. K

Д оведення: Проведемо ON AB, OM BC.

∆ANO=∆AKO ( АО – спільна, ∟NAO=∟КАО – за побудовою)

за гіпотенузою і кутом. Звідси ON=OK. Аналогічно ОМ=ОК.

Отже, ON=OM=OK=r – О центр вписаного кола.

Дослідження: Задача завжди має розв’язок.

б) Побудова кола, описаного навколо трикутника.

Ц ентр описаного кола навколо трикутника лежить у

точці перетину серединих перпендикулярів до сторін трикутника. B

План побудови:

1) Будуємо серединні перпендикуляри до сторін O

АС і ВС (див. задача 3). A D C

2) Позначимо їх точку перетину т.О.

3) Будуємо коло з центром у т.О радіусом r=АО.

Дане коло є описаним навколо ∆АВС.

Доведення: Розгл. ∆АOD і ∆COD: AD=DC (за побудовою)

ОD – спільна. За 2 катетами ∆АOD=∆COD.

Звідси АО=ОС. Аналогічно доведемо, що АО=ОВ.

Отже, АО=ОВ=ОС=R і т.О – центр описаного кола.

11*

План побудови:

1) Проводимо пряму АО.

2 ) Будуємо середину відрізка ОА – т.В (див. задачу 3)

3) Будуємо коло з центром в точці В радіуса r=АВ,

яке перетинає дане коло в точках С і D. C

4) Проводимо прямі АС і АD – шукані дотичні. O A

B

Доведення: За властивістю вписаних кутів ∟ОСА=∟ODA=90º. D

Отже, ОС АС, OD AD тому АС і AD – дотичні.

Дослідження: Задача має розв’язки, коли побудоване коло

має спільні точки з даним колом. Якщо т.А – зовнішня

точка, то точок перетину буде дві, отже можна провести

дві дотичні. Якщо т.А – лежить на колі, то точок перетину

буде одна – і одна дотична. Якщо т.А – внутрішня точка,

то точок перетину кіл не буде і дотичної провести не можна.

12*

П лан побудови:

1) Будуємо коло з центром в т.О₁ і радіусом R=R₁-R₂. О А А

2) Будуємо дотичну О₂С до побудованого кола з точки С₂ О

(див. попередню задачу).

3) Проводимо промінь О₁С, який перетинає перше коло в т.А.

4) Будуємо пряму О₂В||АС, АВ – спільна дотична до даних кіл.

А

Д оведення: О₂С О₁С за властивістю дотичної. С В

Оскільки АС||О₂В і АС=О₂В=R₂,

то АВО₂С – прямокутник. О₁ О₂

Дослідження: Можливі такі випадки: Кола не дотинаються – спільних

дотичних існує дві:

Кола мають внутрішній дотик – мають одну зовнішню спільну

дотичну, яка проходить через точку дотику.

Кола мають зовнішній дотик – існує дві спільні дотичні.

Одне коло лежить всередині іншого – спільної дотичної не існує.