Тема 4 Нерівності з однією змінною, їх системи та сукупності

1. Означення нерівності з однією змінною, розв’язок нерівності.

2. Рівносильні нерівності. Теорема про рівносильні нерівності та наслідки з них.

3. Системи та сукупності нерівностей з однією змінною та їх розв’язування.

1. Нехай і - вирази із змінними, причому (область визначення).

Означення 1. Нерівністю з однією змінною називається предикат виду >,<, заданий на області визначення Х , для якого вимагається знайти область істинності.

Область істинності цього предиката називається множиною розв’язків даної нерівності.. Нерівності бувають строгі (>,<)і нестрогі ( ). Кожну нестрогу нерівність можна розглядати диз’юнкцію строгої нерівності

Означення 2.Розвязком нерівності з однією змінною називається таке значення змінної, при якому дана нерівність перетворюється в істинну числову нерівність.

Відносно нерівностей може ставитися два завдання: 1) довести, що дана нерівність істинна при всіх . В цьому випадку говорять, що потрібно довести нерівність; 2) знайти всі значення , при яких дана нерівність перетворюється в правильну числову нерівність. Говорять, що треба розв’язати нерівність.

2. Означення 3. Якщо множина розв’язків однієї нерівності підмножиною множини розв’язків другої нерівності, то говорять, що друга нерівність є наслідком першої.

Означення 4. Якщо дві нерівності мають одну і ту ж область визначення і множини їх розв’язків співпадають, то такі нерівності називаються рівносильними.

Означення 5. Якщо обидві нерівності містять знаки >,> або <,< то їх називають нерівностями однакового змісту, а якщо >,< - то їх називають нерівностями протилежного змісту. Основним методом розв’язування нерівностей є метод рівносильних перетворень, який ґрунтується на наступних теоремах.

Теорема 1. Якщо до обох частин нерівності (1)заданої на області визначення Х додати один і той самий вираз , який визначений на всій множині Х, то дістанемо нерівність (2) рівносильну даній.

Доведення. 1) Нехай а – розв’язок нерівності (1), тоді - істинна числова нерівність. Оскільки - визначений на всій множині Х, то додамо число до обох частин нерівності і одержимо істинну числову нерівність. Отже, а– розв’язок нерівності (2).

2) Нехай b - розв’язок нерівності (2), тоді . Істинна числова нерівність. Віднімемо від обох частин число , отримаємо істинну числову нерівність . Отже, - розв’язок нерівності (1). Висновок: множини розв’язків співпадають.

Наслідки.1. Доданки в нерівності можна переносити з однієї частини в іншу, змінивши їх знаки на протилежні.

2. Якщо в обох частинах нерівності є однакові вирази, то їх можна опустити.

Теорема 2. Якщо обидві частини нерівності (1) заданої на області визначення Х домножити на один і той самий вираз , заданий на тій самій області визначення Х :

1). Який приймає на ній додатні значення , то дістанемо нерівність рівносильну даній.

2). Який приймає на ній від’ємні значення , то змінивши знак на протилежний , отримаємо нерівність рівносильну даній.

Доведення. (аналогічно т.1 самостійно).

Наслідки. 1. Якщо всі члени нерівності мають спільний додатній числовий множник, то на нього можна поділити всі члени нерівності.

2. Якщо всі члени нерівності мають спільний від’ємний числовий множник, то на нього можна поділити всі члени нерівності, змінивши знак нерівності на протилежний.

3. Якщо коефіцієнти членів нерівності є дробове число, то помноживши всі члени нерівності на додатне число, яке є найменшим спільним знаменником усіх дробів, отримаємо рівносильну нерівність з цілими коефіцієнтами.

Приклад.

Розв’язки ілюструються за допомогою числової осі

3. Означення 6. Системою нерівностей з однією змінною називають кон`юкцію нерівностей і позначають .

Розв’язати систему – означає знайти множину тих значень змінної х з області визначення Х, при яких обидві нерівності одночасно перетворюються в істинні числові нерівності.