4. Загальні види страхування життя

Розглянемо контракти страхування життя, для яких виплати змінюються з року в рік, припускаючи, що застрахована сума виплачується наприкінці року смерті. Якщо через позначено суму, яка застрахована протягом -го року з моменту укладання контракту, то

. (4.1)

Розподіл і, зокрема, чисту одиночну премію, а також вищі моменти, легко підрахувати за формулою

. (4.2)

Такий контракт може бути представлений як комбінація контрактів відкладеного страхування, кожен з яких має фіксовану застраховану суму. Тоді чиста одиночна премія може бути обчислена

. (4.3)

У випадку, коли страхування покриває тільки термін років, тобто при , контракт можна також представити у вигляді комбінації контрактів термінового страхування, які вступають в силу негайно:

. (4.4)

Вирази (4.3), (4.4) можна застосовувати при обчисленні чистої одиночної премії, але не при знаходженні вищих моментів для .

Якщо виплати за контрактом проводяться негайно в момент смерті, застрахована сума може в загальному випадку бути функцією , і тоді ми маємо

. (4.5)

Чиста одиночна премія дорівнює

. (4.6)

Реально обчислення чистої одиночної премії може бути зведено до викладок по дискретній моделі, див. (4.2) у випадку . З

, (4.7)

маємо

, (4.8)

де вводиться позначення

. (4.9)

Умовний розподіл для , при , необхідний для обчислення виразу (4.9). Два припущення відносно смертності для дробового віку можуть бути застосовані з тією ж метою.

Ситуація А розділу 6 теми 2 дає

, (4.10)

а ситуація Б того ж розділу приводить до співвідношення

. (4.11)

В якості ілюстрації розглянемо випадок експоненціальнозростаючої застрахованої суми . Це зводить формулу (4.10) до

. (4.12)

Зауважимо, що дає нам (3.5). Формула (4.11) зводиться до

. (4.13)

(якщо знаменник в (4.12) або (4.13) перетворюється в нуль, то за правилом Лопіталя дріб дорівнює . Це відповідає випадку, коли підінтегральна функція в (4.10) і (4.11) відповідно не залежить від .

5. Стандартні види змінного страхування

Розглянемо стандартні види страхування при виплатах застрахованої суми наприкінці року смерті. Чиста одиночна премія може бути легко підрахована і може бути використана також у випадку виплати застрахованої суми негайно в момент смерті.

Розглянемо лінійно зростаюче безтермінове страхування, коли . Поточне значення контракту дорівнює

. (5.1)

Чиста одиночна премія позначається через і дорівнює

. (5.2)

Для відповідного термінового страхування на термін років маємо

. (5.3)

Чиста одиночна премія позначається через і отримується обмеженням сумування в (5.2) першими доданками. Подібно до (4.3), (4.4), ми можемо записати

(5.4)

. (5.5)

Очевидною є різниця між і - друга величина дорівнює сумі першої і чистої одиночної премії для контракту на чисте дожиття терміном років.

Виплати по лінійно спадаючому терміновому страхуванню спадають лінійно від до нуля, тому

. (5.6)

Контракти з лінійним спаданням як правило використовуються для гарантованого повернення позики, за умови, що поточний борг за позикою у відповідності до плану амортизації позики також спадає лінійно. Рівності

(5.7)

(5.8)

очевидні.

Розглянемо тепер контракти з виплатою в момент смерті, тобто в формі (4.5) з деякою функцією . Для таких контрактів далі в цьому розділі будемо використовувати ситуацію А.

Якщо застрахована сума збільшується щорічно, то ми маємо , тому

. (5.9)

Чиста одиночна премія позначається . Обчислюючи математичне сподівання величини

(5.10)

і використовуючи постульовану незалежність і , а також (3.4), отримаємо практичну формулу

. (5.11)

Нехай тепер виплата зростає раз на рік, кожен раз на :

. (5.12)

Відповідна чиста одиночна премія позначається через . Зауважимо, що (5.12) можна записати у вигляді

. (5.13)

При обчисленні чистої одиночної премії ми використовуємо незалежність випадкових величин , , а також співвідношення

. (5.14)

Звідси отримаємо

. (5.15)

Використовуючи співвідношення (3.5) і (5.11), знаходимо

. (5.16)

Цей вираз може бути обчислений безпосередньо.

У випадку неперервнозростаючої застрахованої суми поточне значення дорівнює

, (5.17)

а чиста одиночна премія визначається співвідношенням

, (5.18)

яке отримане з (5.16) граничним переходом .

Формули (5.11), (5.26) і (5.18) можуть бути отримані підстановкою деякої функції в (4.10). Наприклад, підстановка приводить до

, (5.19)

що дає (5.18).

Аналогічні формули справедливі для відповідних термінових контрактів. Наприклад,

. (5.20)

Вправа. Доведіть (5.20) на основі (5.16).

Нарешті, розглянемо контракт -річного неперервного контракту страхування з початковою сумою страхування , яка зменшується раз на рік, кожен раз на :

. (5.21)

Цей контракт, очевидно, може бути представлений у вигляді різниці між терміновим страхуванням з постійною застрахованою сумою і терміновим контрактом з лінійно зростаючою виплатою. Чиста одиночна премія дорівнює

. (5.22)