Тема 10. Лінійні моделі множинної регресії

При дослідженні впливу декількох чинників на певний показник будують множинну (багатофакторну) регресію.

Лінійна модель множинної регресії має такий загальний вигляд:

Також багатофакторну лінійну модель можна представити у матричному вигляді: Y = X*В + U, де Y, X, B та U відповідно матриці значень залежної змінної, незалежних змінних, параметрів моделі та залишків.

Якщо модель має вільний член β₀, то до матриці Х потрібно зліва дописати стовпчик, що складається з одиниць.

Матрицю параметрів моделі можна знайти за формулою:

Приклад 10.1

Проаналізувати залежність продуктивності праці від таких чинників, як частка робітників з технічною підготовкою та частка механізації робіт на основі даних табл. 10.1.

Таблиця 10.1

Вихідні дані для побудови лінійної багатофакторної регресії

№	Продуктивність праці (y), ум. о.	Частка робітників з технічною підготовкою (x1), %	Частка механізації робіт (x2), %
1	4500	65	85
2	4180	62	83
3	3000	47	67
4	3420	46	63
5	3350	50	70
6	3400	54	70
7	3420	53	73
8	4100	61	81
9	3700	57	77
10	3500	54	72

Розв’язання

Складемо матрицю Х, додавши до неї перший стовпчик з одиниць.

X= Y=

Для множення матриць в Excel треба застосовувати функцію МУМНОЖ, а для визначення оберненої матриці – МОБР. Потрібно виділити шуканий діапазон, натиснути F2, а далі Ctrl+Shift+Enter.

Транспонуємо матрицю X, помножимо отриману матрицю X' на Х. Знайдемо обернену матрицю від (Х*Х'), помножимо її на X' і на Y. Отримаємо матрицю B.

B=

Отже, b₀ = -1.97; b₁ = 71.64; b₂ = -3.7.

Економетрична модель має вигляд: y = -1.97 + 71.64 x₁ –3.7 x₂.

Питання для самостійного вивчення: коефіцієнт множинної детермінації, t-критерій та F-критерій для множинної регресії.

Тема 11. Узагальнені економетричні моделі

Однією з умов, що дозволяють застосовувати метод найменших квадратів, є гомоскедастичність, тобто стала дисперсія залишків для різних спостережень. Інакше маємо справу з гетероскедастичністю. Для виявлення гетероскедастичності застосовують µ-критерій, параметричний та непараметричний тести Гольдфельда-Квандта, тест Глейзера тощо.

Приклад 11.1

Дослідити дані табл. 11.1 на наявність гетероскедастичності за допомогою параметричного тесту Гольдфельда-Квандта.

Таблиця 11.1

Вихідні дані для перевірки наявності гетероскедастичності

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9
x	0,13	0,2	0,25	0,34	0,4	0,45	0,52	0,56	0,65
y	4,3	4,2	4	3,8	3,4	3,3	3,1	2,9	2,6
№	10	11	12	13	14	15	16	17	18
x	0,72	1,02	1,15	1,34	1,42	1,56	1,75	1,8	1,92
y	2,4	2	1,7	1,6	1,6	1,5	1,3	1,1	1,1

Розв’язання

Якщо дані не впорядковані в порядку зростання значень х, як у цьому випадку, то потрібно виконати відповідне перетворення.

Далі треба відкинути с спостережень, які знаходяться в центрі. Оптимальне співвідношення між с та загальною кількістю спостережень n становить 4:15. Нехай у нашому випадку с=4, тому відкидаємо спостереження з восьмого по одинадцяте.

Побудуємо економетричні моделі для отриманих двох груп спостережень (табл. 11.2).

Таблиця 11.2

Застосування параметричного тесту Гольдфельда-Квандта

№	Модель 1: y = -3.29 x + 4.8				№		Модель 2: y = -0.86 x + 2.76
	x	y	ŷ	u2			x	y	ŷ	u2
1	0,13	4,3	4,38	0,0059		12		1,15	1,7	1,77	0,00472
2	0,2	4,2	4,15	0,00285		13		1,34	1,6	1,61	0,00003
3	0,25	4	3,98	0,000316		14		1,42	1,6	1,54	0,00398
4	0,34	3,8	3,69	0,0129		15		1,56	1,5	1,42	0,00693
5	0,4	3,4	3,49	0,00792		16		1,75	1,3	1,25	0,00215
6	0,45	3,3	3,32	0,000606		17		1,8	1,1	1,21	0,0123
7	0,52	3,1	3,09	0,000031		18		1,92	1,1	1,11	0,00006
Σ	2,29	26,1	26,1	0,0305		Σ		10,94	9,9	9,9	0,0301

Знайдемо відношення сум залишків:

R*=0,0305/0,0301≈1,01.

Порівняємо це число з табличним значенням F-критерію (F_кр) при ступенях свободи k₁=7-2=5, k₂=7-2=5 і рівні довіри Р=0,99. F_кр=11. Оскільки R*< F_кр, вихідні дані мають гомоскедастичність.

Питання для самостійного вивчення: µ-критерій, тест Глейзера, метод Ейткена.