28. Дисперсия, ее математические свойства и методы расчета.

Сред линейн откл-е редко примен-ся,поэт обычно вычисл-ся дисперсия (σ²) для оценки вариации, и для изменения связи между ними,оценки величины ошибки выборочного наблюд-я. Дисперсия признака а)по первич данным σ²=∑(х- )²/n б)по вариац рядам σ²=(∑(х- )²f)/∑f . Дисперсию признака можно опр-ть как разность м/у сред квадратом вариантов и квадратом их средней величины: σ²= - 2 Применительно к сгруппир данным расчет дисперсии этим способом в развернутом виде: σ²= ((∑х²f)/∑f)- (∑хf/∑f)²

Наряду с вариацией кол-ных признаков может наблюд-ся вариация кач-ных признаков –альтернативная изменчивость кач-ных признаков. В этом случае каждая ед-ца изучаемой совокуп либо облад каким-то cв-вом, либо нет. Наличие признака у единиц совокуп обоз 1, отсутствие 0, долю совокупности, облад изучаемым признаком обознач р, а не облад им q. Дисперсия альтернативного признака опр-ся σ²_р =рq=p(1-q), p+q=1

Дисп. имеет ряд мат св-в: 1.индивид знач пр-ка уменьш или увел на некотор постоян.число, то дисп не измен. 2.индивид знач пр-ка раздел или умнож на некотор пост число,то дисп соотв умен или увел в квадрате этого числа. 3.Дисперс, расчит-ая от постоян.вел-ы всегда больше дисп-ии расч-ой от средней на квадрат разности м/у средней и пост-ой.

4.Следствие(из 3) Постоянную приравнять к 0, то дисп будет = разности м/у средним квадратом значений пр-ка и квадратом средней.

29. Дисперсия альтернативного признака.

Наряду с вариацией кол-ных признаков может наблюд-ся вариация кач-ных признаков –альтернативная изменчивость кач-ных признаков. В этом случае каждая ед-ца изучаемой совокуп либо облад каким-то cв-вом, либо нет. Наличие признака у единиц совокуп обоз 1, отсутствие 0, долю совокупности, облад изучаемым признаком обознач р, а не облад им q. Дисперсия альтернативного признака опр-ся σ²_р =рq=p(1-q), p+q=1 Средняя альт-го пр-ка всегда = его доле

Дисперсия альт пр-ка = произведению доли на дополнение доли к единице.

30. Виды дисперсий и правило сложения дисперсий.

При изуч обществ. явл-й очень часто исслед–ая совокуп-ть разбивается на группы, что позволяет изучать влияние отдельн факторов на признак-результат. В этом случае рассчитывают след виды дисп-ии: 1.Общая дисп расчит по формулам а)по первич данным σ²=∑(х- )²/n б)по вариац рядам σ²=(∑(х- )²f)/∑f и дает оценку меры вар-ии признаков по всей сов-ти под влиян-м всех факторов, включая фактор положенный в основание группировки. 2. Групповая дисп –ср. квадр отклонен индивид знач пр-ка гр-пы от ср-ей этой гр-пы. Групповая дисп. выступ мерой вар-ии пр-ов в данной гр-пе. Обусловленные всеми прочими факторами, кроме фак-ов полож-ых в основание груп-ки. 3. Внутригрупп дисп – средняя расчит из групповых дисп-ий. Внутригрупп дисп выступ мерой вар-ии пр-ка по всей совок обусловленной всеми прочими факторами кроме фактора полож в основ группы. Для оценки влияния различ факторов, опр-щих колеблемость индивид знач-ний признака, воспольз разлож-ние общей дисперсии на составляющие межгрупповые дисперсии σ²_общ = σ²+ , где σ²_общ - общ дисперсия, хар-щая вариацию признака,рез-тат влияния всех факторов, опр-щих индивид различия единиц совокупности. Она исчисл-ся по всем данным совокупности как средний квадрат отклонений значений признака от общей средней. Вариацию признака, обусловленную влиянием фактора, положен в основу группировки, характериз межгрупповая дисперсия σ²,кот явл-ся мерой колеблемости частных средних по группам ( j)вокруг общей средней и исчисл-ся по ф-ле σ²=∑(( j- )²n_j)/∑n_j, n_j- число единиц совокуп, j- порядковый номер группы. Вариацию признака, обусловленную влиянием всех причин факторов, кроме группировочного, характеризует в каждой группе внутригрупповая дисперсия σ²_j =(∑(х_ij- j )²f_ij)/∑f_ij, i-порядковый номер x и f в пределах каждой группы. По совокуп в целом средняя из внутригрупповых дисперсий опред-ся по ф-ле ²=(∑ σ²_j n _j)/ ∑ n_j. Отнош-е межгрупповой дисперсии σ² к общей σ²_общ даст к-т детерминации ƞ²= σ²/ σ²_общ характеризует долю вариации результативного признака , обусловленную вариацией факторного признака, положенного в основу группировки. Пок-ль получ как корень квадрат из к-та детерминации, наз к-том эмпирического корреляционного отнош-я =√σ²/√ σ²_общ Характериз тесноту связи м/у результативным и факторным признаками и приним знач от0 до 1.При синхронном возрастании(убывании) факторногои результатив признаков корреляцеонное отнош-е берется со знаком +, при изменении этих признаков в противоп направл-ях со знаком «-». Правило сложения дисп.Сущ-ет закон, связывающий три вида дисперсии. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий: . Согласно этому правилу, общая дисперсия, возникающая под действием всех факторов, равна сумме дисперсии, возникающей за счет группировочного признака.

Зная любые два вида дисперсий, можно определить или проверить правильность расчета третьего вида. Правило сложения дисперсий широко применяется при исчислении показателей тесноты связей, в дисперсионном анализе, при оценке точности типической выборки и в ряде других случаев.