Запитання для самоперевірки

1. Дати означення гомоскедастичності і гетероскедастичності.

2. Як впливає наявність гетероскедастичності на оцінку параметрів моделі ?

3. Які існують методи визначення гетероскедастичності ?

4. Як перевіряється гетероскедастичність згідно: а) критерію μ, б) параметричного тесту?

5. Як знаходиться матриця S в умові і які властивості вона має ?

6. За якою формулою знаходять оцінки параметрів моделі при використані методу Ейткена ?

7. Як виконується прогноз при використані методу Ейткена ?

8. Для умови при Хj = (15, 17, 20, 22, 25, 30, 35) знайти матрицю S.

9. Нехай для моделі Y = ХА + L, відомі відхилення L = (3; -2; -1; -0.5; 0.3; 0.2; 4; -2; -1; -0.7).

Визначити оцінку дисперсії відхилень, враховуючи результат завдання 8.

Модуль 2. Тема 2. Автокореляція залишків

2.1. Основні поняття та означення

В економетрічних дослідженях часто виникають ситуації, коли дисперсія відхилень – стала, але спостерігається коваріація відхилень. Таке явище називають автокореляцією залишків або відхилень. Автокореляція відхилень – це кореляція ряду l₁, l₂ …l_n з рядом l_k+1, l_k+2, l_k+n де k характеризує запізнення.

Кореляція між сусідніми членами ряду (k = 1) називається автокореляцією першого порядку.

Автокореляція відхилень може бути наслідком кореляції між послідовними значеннями деякого фактора X_i , великих похибок при одержанні даних, помилкової специфікації форми залежності між змінними або відсутності в рівнянні регресії деякого суттєвого фактора.

При оцінювані параметрів економетричної моделі методом найменших квадратів без врахування наявності автокореляції відхилень можливі такі наслідки:

1) оцінки параметрів моделі будуть зміщеними, неефективними;

2. неефективність оцінок параметрів приводить до прогнозу, який може мати велику вибіркову дисперсію;

3. в дисперсійному аналізі не можна застосувати статистичні критерії t (Ст'юдента) та F (Фішера).

2.2. Метод Кочрена – Оркатта

Нехай задано економетричну модель

;

Перетворивши вихідну інформацію за допомогою , дістанемо:

.

У цій моделі залишки мають скалярну дисперсійну матрицю. Сума квадратів залишків на основі наведеного рівняння визначатиметься співвідношенням

.

Безпосередня мінімізація даної функції приводить до системи неліній­них рівнянь, тому аналітичний вираз оцінок параметрів і дістати важко.

Метод наближеного пошуку параметрів і , які мінімізують суму квадратів, дає ітеративний метод, запропонований Кочреном і Оркаттом і названий на їхню честь.

Опишемо його алгоритм.

Крок 1. Довільно вибирають значення параметра , наприклад = . Підставивши його в рівняння, обчислюють .

Крок 2. Поклавши і , підставимо їх у рівняння і обчислимо = .

Крок 3. Підставивши в співвідношення значення = , знайдемо .

Крок 4. Використаємо і для мінімізації суми квадратів залишків за невідомим параметром = . Процедура триває доти, доки наступні значення параметрів і не будуть відрізнятись менш як па задану величину.

Цей ітеративний метод, як і інші подібні процедури, має дві проблеми.

а) збіжності;

б) характеру знайденого мінімуму – локальний чи глобальний.

Проведені дослідження за цими двома проблемами показали, що в результаті застосування методу Кочрена–Оркатта завжди знаходимо глобальний оптимум і алгоритм забезпечує порівняно добру збіжність.

Саме такі оцінки, як для простої лінійної регресії, так і для багатофакторної, дає метод узагальнених найменших квадратів (УНК), який уже було розглянуто в параграфі про гетероскедастичність. Таким чином, за наявності автокореляції перевагу при оцінці невідомих параметрів слід віддати методу узагальнених найменших квадратів, а не методу найменших квадратів.

Якщо все ж таки використовувати метод найменших квадратів в умовах автокореляції, то це призведе до таких наслідків.

1. Оцінка дисперсії випадкової величини часто переоцінює дійсну дисперсію і, як наслідок, маємо переоцінений коефіцієнт детермінації R².

2. Дисперсія параметрів, наприклад var(b₁)_АR(1), породжує помилки при використанні t- та F-тестів.

Висновки

Одним із припущень класичної лінійної регресії є припущення про незалежність випадкових величин. Якщо це припущення порушується, то наявна серійна кореляція або автокореляція.

Автокореляція може виникати з багатьох причин: по-перше, її викликає інерційність економічних процесів і, як наслідок, залежність між даними в часових рядах; по-друге, некоректно специфіковані моделі, маніпуляції з даними, введення лагових змінних.

При автокореляції небажана оцінка параметрів методом найменших квадратів, бо вона призводить до неефективних оцінок і неможливості застосування використанні t- та F-тестів. Поширеним методом оцінки невідомих параметрів при наявності автокореляції є метод узагальнених найменших квадратів.