4.3.3Включение цепи rl к источнику синусоидального напряжения

Общее решение основного дифференциального уравнения сохраняет форму

, где .

Теперь для нахождения частного решения рассмотрим установившийся режим в цепи при по окончании переходного процесса. Используя комплексный метод, найдем комплексную амплитуду тока

,

где - полное сопротивление цепи; - угол сдвига фаз между напряжением и током.

Мгновенное значение установившегося тока равно .

Для определения постоянной интегрирования используем начальное условие . При имеем , откуда . Поэтому окончательно для тока в цепи имеем:

. (6.24)

При переходном процессе имеет место всплеск до , это определяется параметрами цепи и начальной фазой включенного напряжения.

4.4 Разряд конденсатора на индуктивность и сопротивление

Одна из классических задач расчета переходных процессов - анализ разряда конденсатора на цепь с последовательным соединением резистора и катушки (рис. 6.8).

Запишем уравнения переходного процесса в этом случае:

. (6.25)

Данная цепь описывается двумя переменными состояния: и . Исключая из приведенной системы , придем к дифференциальному уравнению 2-го порядка относительно тока:

. (6.26)

Введем обозначения: коэффициент затухания контура ; резонансная частота контура . Окончательно исходное уравнение примет вид:

. (6.27)

Характеристическое уравнение последовательного колебательного контура:

(6.28)

имеет корни

,

которые в зависимости от соотношений между параметрами цепи могут быть:

1. мнимыми сопряженными ( , в контуре нет поглощения энергии);

2. комплексно-сопряженными ( );

3. вещественными равными ( );

4. вещественными различными ( ).

В первых двух случаях процесс разряда колебательный; в третьем и четвертом случаях процесс носит апериодический характер, разрядный ток не изменяет направления в течение всего процесса.

Решение уравнения (6.27) в виде двух составляющих , как принято в классическом методе, но , так как исходное уравнение без правой части.

При различных корнях можно записать общее решение однородного дифференциального уравнения в виде:

. (6.29)

Для определения двух постоянных интегрирования используем два начальных условия, вытекающих из условия непрерывности обеих переменных состояния в момент коммутации:

; .

Первое уравнение системы (6.25) для момента времени с учетом начальных условий:

,

определим значение производной тока: .

4.4.1Колебательный незатухающий процесс (идеальный случай)

Корни характеристического уравнения (7.28) , общее решение в этом случае принимает вид:

. (6.30)

При выражение (6.30) , значит , следовательно,

.

Производная этого выражения при принимает вид , получим значение второй постоянной интегрирования .

Выражение для тока, удовлетворяющее начальным условиям:

. (6.31)

Напряжение имеет следующее выражение:

. (6.32)

Напряжение по первому уравнению (6.25) при начальных условиях, с учетом (6.32) будет:

. (6.33)

Определим период колебаний в контуре без потерь , значит:

. (6.34)

На рис. 6.9 представлены кривые незатухающих колебаний тока i и напряжений и , находящихся в противофазе.