4.2.3Включение rc-цепи к источнику синусоидального напряжения

В этом случае общие уравнения сохраняются; для напряжения имеем неоднородное уравнение

. (6.12)

Его общее решение имеет ту же форму, что и ранее .

Теперь для определения частного решения рассмотрим установившийся синусоидальный процесс при , когда свободная составляющая исчезает.

При . Здесь

; . Следовательно, напряжение на конденсаторе

. (6.13)

Если в момент включения конденсатор не был заряжен , то уравнение (6.13) для момента времени и постоянная интегрирования . Окончательно напряжение на конденсаторе

. (6.14)

Значение тока в цепи определим дифференцированием:

(6.15)

где - амплитуда тока в цепи в установившемся режиме.

Оба выражения (6.14) и (6.15) в общем случае имеют периодическую установившуюся и апериодическую свободную составляющие. При этом характер переходного процесса существенно зависит от двух факторов - начальной фазы напряжения источника в момент включения y и соотношения частоты w и параметров цепи .

4.3Переходные процессы в простейшей rl-цепи

Процессы в RL-цепи с последовательным соединением элементов (рис. 6.6, а) рассчитываются аналогично. Дифференциальное уравнение для тока имеет вид

. (6.16)

Оно не требует преобразования, так как сам ток i является переменной состояния. Запишем общее решение уравнения в виде суммы установившейся и свободной составляющих

. (6.17)

Характеристическое уравнение имеет корень , поэтому общее решение однородного уравнения будет иметь вид , где - постоянная времени индуктивной цепи. Вид частного решения зависит от характера напряжения источника.

4.3.1Включение цепи rl к источнику постоянного напряжения

В этом случае при в цепи устанавливается постоянный ток, падение напряжения на индуктивности становится равным нулю и все напряжение источника приложено к резистору. Поэтому ток в цепи становится равным . Общее решение имеет вид:

. (6.18)

Значение постоянной интегрирования А определим из начальных условий, используем, как и выше, закон коммутации - условие непрерывности тока в цепи в момент коммутации . Для момента времени уравнение (6.18)

и .

Это приводит к окончательным выражениям для тока в цепи и напряжения на индуктивности:

. (6.19)

. (6.20)

Зависимости тока и напряжения на катушке от времени изображены на рис. 6.6, б. Ток по экспоненциальному закону нарастает от нуля до установившегося значения , напряжение скачком возрастает от нуля до U и затухает по экспоненте вновь до нуля.

4.3.2Замыкание цепи rl накоротко

Процессы при коротком замыкании цепи, в которой ранее протекал ток I (рис. 6.7, а), описываются однородным уравнением ; общее решение для тока в цепи имеет лишь свободную составляющую:

. (6.21)

Начальное условие из уравнения (6.21) при , поэтому окончательно

, (6.22)

а напряжение на катушке равно

. (6.23)

Соответствующие кривые изображены на рис. 6.7, б.

Ток после замыкания катушки сохраняет направление, а напряжение скачком принимает значение , после чего так же изменяется по экспоненте. Отметим, что при большом значении сопротивления цепи разряда начальный скачок может вызвать перенапряжение на элементах цепи. Так если закорачивающая ветвь сама имеет большое сопротивление (изображено штриховой линией на рис. 6.7, а), начальное значение напряжения достигнет значения , что может привести к повреждению элементов цепи.