4.2. Переходные процессы в простейшей rc-цепи

При анализе подключения RC-цепи к источнику напряжения (рис. 6.4, а), согласно сказанному выше, из уравнений, составленных для цепи после коммутации, при замкнутом ключе

;

необходимо исключить ток и свести эту систему к одному уравнению относительно переменной состояния :

. (6.3)

Общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид суммы частного решения неоднородного и общего решения однородного уравнений:

. (6.4)

Для нахождения второго из них составим характеристическое уравнение , корнем которого является . Общее решение однородного уравнения - свободная составляющая напряжения - соответствует цепи с исключенным источником:

, (6.5)

где А - пока неопределенная константа; - величина, имеющая размерность времени, так называемая постоянная времени.

Характер частного решения - установившейся составляющей - определяется видом воздействующего на цепь напряжения источника . В рассматриваемых ниже простейших случаях - подключение цепи к постоянному источнику и замыкания конденсатора на резистор, когда , составляющую можно найти, руководствуясь следующими соображениями. Вид общего решения показывает, что представляет собой то значение напряжения на конденсаторе, которое будет достигнуто после окончания переходного процесса. Действительно, при , так как свободная составляющая с течением времени затухает.

4.2.1Заряд конденсатора от источника постоянного напряжения

К концу переходного процесса на конденсаторе устанавливается напряжение источника U, т.е. . Отсюда

. (6.6)

Для определения значения постоянной А используем начальное условие. Согласно закону коммутации, напряжение на конденсаторе в момент замыкания ключа остается непрерывным. Если в исходном состоянии до замыкания ключа конденсатор не был заряжен, то .

Для момента времени уравнение (7.6) имеет вид: , постоянная интегрирования . Запишем окончательное выражение для :

. (6.7)

Из исходных выражений цепи получим выражения для тока:

. (6.8)

Характер изменения тока и напряжения в RC-цепи при подключении ее к источнику постоянного напряжения изображен на рис. 6.4, б. Значение тока, содержащее лишь свободную составляющую, максимально в начальный момент времени, когда оно скачком достигает значения и все напряжение источника приложено к резистору. По мере заряда конденсатора напряжение на нем повышается, это ведет к соответственному уменьшению тока в цепи. Скорость этих процессов определяется постоянной времени t. Практически переходный процесс заканчивается за время, равное .

4.2.2Разряд конденсатора на резистор

Разряд конденсатора на резистор - см. рис. 6.5, а.

Для расчета тока разряда и напряжения используем то же уравнение (6.3), но при этом источник отсутствует . Процесс разряда конденсатора при отсутствии источников описывается однородным уравнением

. (6.9)

а напряжение и ток содержат лишь свободные составляющие. Поэтому общее решение имеет вид: , где константы А и t сохраняют прежний смысл.

Для определения значения А используем начальное условие . При и окончательно запишем

. (6.10)

Значение тока разряда

. (6.11)

Соответствующие кривые изображены на рис. 6.5, б. Напряжение на конденсаторе непрерывно в момент коммутации и уменьшается по экспоненциальному закону от начального значения U. Знак «минус» в выражении для тока говорит о том, что ток при разряде конденсатора направлен противоположно току при заряде. В начальный момент значение тока максимально, его спад связан с уменьшением напряжения на элементах цепи.