5.6Метод симметричных составляющих. Представление несимметричных систем с помощью симметричных составляющих

Метод симметричных составляющих основан на представлении произвольной несимметричной трехфазной системы ЭДС, напряжений или токов в виде суммы трех симметричных систем - составляющих прямой, обратной и нулевой последовательностей.

Рассмотрим несимметричную трехфазную систему токов, векторное изображение которой приведено на рис. 5.9, а. Представим каждый из токов в виде суммы трех величин:

(5.34)

Здесь первая группа слагаемых , , включает три одинаковых вектора, совпадающих по фазе - система нулевой последовательности (рис. 5.9, б). Вторая группа слагаемых , , образует симметричную систему прямой последовательности, имеет одинаковые модули и фазовые сдвиги на 120 и прямой порядок следования фаз a, b, c (рис. 5.9, в), такой же, какой принят при анализе симметричных систем. Наконец, третья группа слагаемых , , образует систему обратной последовательности с порядком следования фаз a, c, b (рис. 5.9, г).

При записи токов отдельных составляющих используют сокращенную запись с помощью оператора комплексного множителя, осуществляющего поворот вектора в положительном направлении на 120 против хода часовой стрелки (оператора поворота). За основополагающие векторы принимаются симметричные составляющие для фазы «а» и в дальнейшем индекс «а» опущен.

Запишем систему (5.34) с учетом предложенных замечаний:

(5.35)

Полученную систему удобно записать в векторно-матричной форме:

. (5.36)

В выражении (5.36) соответственно имеем: - алгебраический вектор фазных токов; - алгебраический вектор симметричных составляющих токов; - квадратная матрица коэффициентов, имеющая вид:

. (5.37)

Возможен обратный переход: выразим токи симметричных составляющих через токи в фазах исходной несимметричной системы в векторно-матричной форме:

. (5.38)

В этом выражении связь между матрицами коэффициентов (без математического обоснования):

. (5.39)

Система уравнений, связывающая симметричные составляющие токов с исходной несимметричной системой токов в развернутом виде:

(5.40)

Графически это проиллюстрировано на рис. 5.10.

Эти выражения показывают, что разложение произвольной несимметричной системы токов , , на симметричные составляющие существует всегда и является единственным.

Аналогичные соотношения имеют место для симметричных составляющих трехфазных систем напряжений и ЭДС. Разложение несимметричных систем позволяет свести задачу расчета несимметричной трехфазной цепи к анализу совокупности трех симметричных режимов для составляющих прямой, обратной и нулевой последовательностей.

5.7Связь между симметричными составляющими напряжений и токов несимметричной трехфазной системы

Связь между фазными напряжениями и токами:

(5.41)

Переходя к векторно-матричной форме записи будем иметь:

, (5.42)

где - алгебраический вектор фазных напряжений; - алгебраический вектор фазных токов; - квадратная матрица комплексных сопротивлений фаз, в которой - собственные комплексные сопротивления фаз и - взаимные комплексные сопротивления фаз.

С учетом однородности и линейности преобразования, запишем систему для симметричных составляющих:

(5.43)

Последняя система (5.43) в векторно-матричной форме компактно выгладит:

, (5.44)

где - алгебраический вектор симметричных составляющих напряжений; - алгебраический вектор симметричных составляющих токов; - квадратная матрица комплексных сопротивлений симметричных составляющих, в которой , , - собственные сопротивления для симметричных составляющих; , , - взаимные сопротивления для симметричных составляющих.

Уравнение, связывающее квадратные матрицы:

, (5.45)

где и - матрицы коэффициентов, определяемые по выражениям (5.37) и (5.39).

В общем случае в матрице все коэффициенты могут быть не нулевыми, следовательно, система уравнений (5.43) не проще системы уравнений (5.41) и переход к симметричным составляющим не имеет смысла.

Для симметричного электроприемника, питаемого от несимметричного трехфазного источника матрица значительно упрощается:

, (5.46)

здесь сопротивления, соответствующих последовательностей: - нулевой; - прямой и - обратной.

Система уравнений (6.43) примет вид:

. (5.47)

Как видно эти соотношения выражают закон Ома для каждой из симметричных составляющих.