4.Расчет электрических цепей при несинусоидальных периодических эдс, напряжениях и токах

4.1Основные понятия и определения

Периодическими несинусоидальными величинами называют любые величины , например, токи, напряжения, ЭДС, которые изменяются во времени по периодическому несинусоидальному закону:

, (4.1)

где Т - период функции; k = 1, 2, 3 и т.д. - целые числа.

Дадим основные определения периодического процесса. На рис. 4.1 задана периодическая функция F(t) с периодом Т, кривая повторяется с одинаковой начальной амплитудой. Частота процесса ; угловая частота ; w принимается за основную частоту или частоту первой гармоники, определяется периодом функции .

При введении специального времени (в радианах) по основной частоте период и .

В электроэнергетических установках в большинстве практических случаев стремятся получить токи и напряжения синусоидальной формы, т.к. при этом большинство установок работает лучше. В промышленной сети переменного тока форма кривой напряжения близка к синусоидальной и ее отклонения от синусоиды обычно не учитываются.

Несинусоидальные токи возникают в электрических цепях, если в них действуют источники несинусоидальных ЭДС (напряжений) или тока, а также, если есть участки цепи, содержащие нелинейные элементы. К ним относятся катушки с ферромагнитными сердечниками, полупроводниковые вентили.

К искажению напряжения питающей сети приводят электроприводы с полупроводниковыми преобразователями, полупроводниковые устройства в энергосистемах, электрифицированный транспорт и др.

4.2Представление периодического процесса гармоническим рядом

Функция, обладающая для всех t свойством периодичности (см. рис. 4.1) , удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда Фурье:

, (4.2)

где ; ; ; - постоянная составляющая; , - коэффициенты Фурье; - частота k-й гармоники, при частоте первой гармоники , период которой совпадает с периодом исходной функции.

Записанное представление (4.2) определяет так называемую тригонометрическую форму ряда Фурье. Эта форма с использованием элементарных соотношений для тригонометрических функций может быть приведена к амплитудно-фазовой форме:

, (4.3)

где ; или

Форма (4.3) наглядно выражает представление периодической функции в виде суммы синусоидальных составляющих - гармоник с кратными частотами kw, амплитудами и начальными фазами .

Первый член ряда при k = 0 называется постоянной составляющей или нулевой гармоникой - среднеарифметическое значение функции за период. Второй член ряда - первой гармоникой или основной синусоидой. Все остальные члены ряда вида при k > 1 называются высшими гармониками, если k - четное число, то гармоники четные, если k - нечетное число, то гармоники нечетные.

Для синусоидальных процессов отдельных гармоник связь между амплитудами и действующими значениями через коэффициент , следовательно и .

Отметим, что действующее значение всего процесса за период не связано с амплитудой всего процесса.

Амплитуды гармоник довольно быстро затухают с ростом порядкового номера, в технических расчетах используются только несколько первых членов ряда, другими членами пренебрегают.

Функции, обладающие определенной симметрией, имеют более простые выражения коэффициентов Фурье. Так, если функция f(t) является четной , ее тригонометрическое представление содержит постоянную составляющую и лишь косинусоиды ; в случае нечетной функции , наоборот, содержит лишь синусоидальные составляющие и нет постоянной составляющей . Еще один вид симметрии периодических функций (рис. 4.2) состоит в том, что каждая полуволна повторяет предыдущую с переменой знака, функция описывается соотношением . У этих функций отсутствуют четные гармоники для , , и функция принимает вид:

при частотах w, 3w, 5w и т.д.

Для наиболее распространенных несинусоидальных кривых (функций) есть справочные таблицы разложения в ряд Фурье, в них указаны все необходимые величины.