1.9.Основные теоретические положения и соотношения. Методы расчета линейных электрических цепей синусоидального тока

Мгновенное значение величины, синусоидально изменяющейся с течением времени,

, (3.60)

где - максимальное значение или амплитуда; - фаза (фазовый угол);  - начальная фаза (начальный фазовый угол); - начальный фазовый сдвиг;  - угловая частота.

Период Т, угловая частота  и частота f связаны соотношениями:

. (3.61)

На рис.3.21, а по уравнению (3.60) построена синусоида, а на рис.3.21, б - соответствующая векторная диаграмма.

На рис.3.21 показаны - значение при t = 0; - начальная фаза положительна, на векторной диаграмме откладывается против часовой стрелки, совпадает с положительным направлением .

Действующие значения синусоидально изменяющихся ЭДС, напряжения и тока:

. (3.62)

Среднее значение синусоидально изменяющихся ЭДС, напряжения и тока за положительную полуволну:

, (3.63)

среднее значение синусоидально изменяющейся величины за период равно нулю.

Изображение синусоидальной функции вращающимся вектором. Проекция вращающегося против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью  вектора (рис. 3.21, б) на вертикальную ось (называемую осью времени) изменяется во времени по синусоидальному закону: . Поэтому любая синусоидальная функция (ток, напряжение, ЭДС) может быть изображена вектором.

Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Если оси координат векторной диаграммы (см. рис. 3.21, б) считать осями комплексной плоскости, вектор можно рассматривать как комплексную амплитуду (рис. 3.21, в).

В электротехнике используются следующие формы записи комплексного числа:

алгебраическая , (3.64, а)

показательная (3.64, б)

тригонометрическая (3.64, в)

полярная (3.64, г)

Здесь - действительная часть комплексного числа ; - мнимая часть комплексного числа; - модуль ком­плексного числа; - аргумент комплексного числа; - мнимая единица или оператор поворота на угол (умножения на j сводится к повороту вектора против часовой стрелки на прямой угол, а умножение на - к повороту вектора на прямой угол по часовой стрелке). Алгебраическая форма удобна при сложении и вычитании комплексных чисел, а показательная и полярная - при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня.

Переход от алгебраической формы к показательной и полярной производится по формулам

. (3.65)

Для обратного перехода используются формулы

. (3.66)

Мгновенное значение синусоидальной функции равно мнимой части, изображающей ее комплексной амплитуды, умноженной на :

.

Символ Im обычно опускают и последнее выражение записывают в форме , здесь « » - знак соответствия; - оператор вращения комплексной амплитуды.

Комплексное действующее значение связано с комплексной амплитудой

. (3.67)

В полярной форме комплексное действующее значение записывают следующим образом , т.е. через модуль и аргумент.

Комплексное действующее значение синусоидальной функции времени, ее производной и интеграла. На рис. 3.22 изображены комплексные действующие значения тока, его дифференциала и интеграла на комплексной плоскости

. (3.68)

Основной комплексный вектор ; дифференцирование приводит к увеличению вектора в  раз и к повороту в положительном направлении на угол ; интегрирование - уменьшение в  раз и поворот по часовой стрелке на угол .

Пассивные элементы электрической цепи переменного тока

Элементы схем замещения

Резистор

Индуктивность

(3.69)

Емкость

.

В выражениях (3.69) после условного обозначения элемента указаны: сопротивление синусоидальному току, его запись в комплексной форме, проводимость при синусоидальном токе и ее запись в комплексной форме.

Комплексные сопротивление и проводимость. Для ветви (рис.3.23) по второму закону Кирхгофа (3.70)

.

При известном токе и заданном напряжении можно записать:

. (3.71)

Комплексное сопротивление

. (3.72)

Здесь - реактивное сопротивление ; Z - полное сопротивление; - угол сдвига фаз напряжения и тока ( - индуктивный сдвиг; - емкостной сдвиг; - совпадение по фазе).

Комплексная проводимость

. (3.73)

Здесь - реактивная проводимость; Y - полная проводимость.

Соотношения для сопротивлений (рис.3.24, а) при заданных R и X:

. (3.74)

При заданных Z и :

. (3.75)

Соотношения для проводимостей (рис.3.24, б) при заданных G и B

(3.76)

При заданных Y и 

. (3.77)

Закон Ома. Для не содержащего ЭДС участка цепи, сопротивление которого Z (см. рис.3.25, а), закон Ома имеет вид

. (3.78)

Для ветви, содержащей ЭДС и сопротивления (рис. 3.25, б)

. (3.79)

Законы Кирхгофа. Для записи уравнений Кирхгофа надо выбрать условно-положительные направления всех токов и обозначить их на схеме.

Первый закон Кирхгофа в применении к узлу электрической цепи для мгновенных и соответственно для комплексных токов имеет вид

. (3.80)

Второй закон Кирхгофа применяется к замкнутому контуру для мгновенных и соответственно комплексных падений напряжения и ЭДС имеет вид

. (3.81)

Правила знаков при написании уравнений (3.80), (3.81) изложены в Главе 2 настоящего пособия.

Расчет цепей переменного тока посредством комплексных чисел. Эти расчеты остаются справедливыми для всех методов, применяемых для расчета цепей постоянного тока. При этом во всех уравнениях ЭДС, напряжения, потенциалы, сопротивления и проводимости должны быть записаны в комплексной форме.

Комплексная, полная, активная и реактивная мощности в цепи синусоидального тока. Мощности определяют так

. (3.82)

Здесь - комплексная мощность; S=UI - полная мощность; - активная мощность; - реактивная мощность; - сопряженный комплекс тока;  - фазовый угол сдвига напряжения и тока. - единицы измерения соответствующих мощностей.

Баланс мощностей

. (3.83)

Векторная диаграмма напряжений. Правило стрелок. Для ветви (рис. 3.23) построим векторную диаграмму напряжений при условии , значит , . Запишем комплексные потенциалы всех точек схемы, приняв за нулевой потенциал точки .

(3.84)

Для построения диаграммы примем и покажем потенциалы точек на комплексной плоскости (рис. 3.26) и напряжения на элементах схемы. Полученная диаграмма напряжений называется топографической, для нее каждой точке схемы соответствует точка на диаграмме. Условно-положи-тельные направления напряжения (рис.3.23) - от точки более высокого потенциала к точке более низкого потенциала, на векторной диаграмме стрелка у напряжения направлена к точке с более высоким потенциалом, таково правило стрелок.

Пассивный двухполюсник в цепи синусоидального тока. Схемы замещения. На рис.3.27 показан двухполюсник (а) и его схемы замещения - последовательная (б) и параллельная (в). Угол - активно-индуктивный двухполюсник;  < 0 - активно-емкостной двухполюсник. Переход от последовательной схемы замещения к параллельной и наоборот:

Для последовательной схемы:	Для параллельной схемы:

Выражения (3.85) и (3.86) взаимно обратны; знаки и ; и .

Резонанс в цепи переменного тока. При последовательном соединении элементов R, L, C при частоте  в цепи возможен резонанс напряжений. Условие наступления резонанса напряжений ;

. (3.88)

При этом - наибольший ток ; если , то .

При параллельном соединении ветвей, содержащих индуктивные и емкостные элементы, в цепи возможен резонанс токов.

На рис. 3.28 приведена идеальная схема включения проводимостей G, , , для которой условие наступления резонанса токов

. (3.89)

При этом Y=G, - наименьший ток в неразветвленной части, т.к. .