1.5.Комплексный метод расчета цепей синусоидального тока

Символический метод расчета с использованием комплексных величин позволяет тригонометрические операции над гармоническими колебаниями и геометрические операции над векторами свести к алгебраическим операциям над комплексными числами, что существенно упрощает расчет.

Введение понятий комплексных токов и напряжений , комплексных сопротивлений и проводимостей и являются основой комплексного метода расчета цепей синусоидального тока.

Для расчета цепи комплексным методом необходимо перейти от заданных характеристик действующих в цепи источников ЭДС и тока, используя формулы прямого преобразования (3.13), к их комплексным изображениям: ; (E, J - действующие ЭДС и токи; - их начальные фазы). При наличии единственного источника его начальную фазу можно принять равной нулю, его комплексное изображение при этом будет вещественным. Далее вводят комплексные сопротивления (или проводимости) элементов цепи при данной частоте: или ; ; . Эти величины выражают связи комплексных токов и напряжений на элементах цепи - закон Ома: , здесь и .

Для цепей синусоидального тока справедливы законы Кирхгофа в комплексной форме записи - для узлов ; для контуров или ; для всей цепи в векторно-матричной форме и . Здесь векторы - вектор токов ветвей и - вектор напряжений ветвей в комплексной форме. Аналогично запишем закон Ома , где - вектор напряжений на пассивных элементах цепи, а - матрица комплексных сопротивлений всех ветвей цепи.

Математическая запись законов Кирхгофа и Ома в комплексной форме для цепей синусоидального тока и цепей постоянного тока аналогичны. Поэтому все методы расчета цепей, а именно: контурных токов, узловых потенциалов, наложения, эквивалентного преобразования и др. используются при расчете символическим методом.

При этом надо помнить (см. табл. 3.2):

Таблица 3.2.

Постоянный ток	E	J	U	I	R	G	V	  
Синусоидальный ток								  2

В качестве примера расчета символическим методом рассмотрим неразветвленную цепь с последовательным соединением элементов L, R и С ( рис. 3.9).

Заданы значения параметров L, R, С; частота ; напряжение на входе .

Будем считать, что в результате расчета ток в цепи , при , т.е. ток отстает от приложенного напряжения. Требуется: рассчитать напряжение на элементах и построить топографическую векторную диаграмму; определить комплексное сопротивление цепи методом преобразования цепей; рассчитать ток .

По второму закону Кирхгофа:

. (3.28)

По закону Ома выразим напряжение на элементах:

(3.29)

Таким образом, напряжение на резисторе совпадает по фазе с током; на индуктивности опережает ток по фазе на ; на емкости отстает от тока по фазе на .

Для построения топографической векторной диаграммы напряжений зададим комплексные потенциалы точек схемы a, b, c и d (рис. 3.9) соответственно . Примем потенциал точки d равным нулю . Комплексные потенциалы остальных точек:

(3.30)

Покажем эти комплексные потенциалы на плоскости Гаусса и отложим векторы соответствующих напряжений (рис. 3.10). Можно сделать другим способом: под углом () проведем вектор тока , общий для всех элементов, строим напряжения на элементах под углами к току согласно (3.29); стрелки векторов напряжения направляем в сторону точек с более высоким потенциалом; дополнительно запишем напряжения как разности потенциалов соответствующих точек ( ).

По топографической диаграмме находят напряжения между любыми двумя точками цепи, к примеру, . Из нее можно определить действующие значения напряжений как модули соответствующих комплексных чисел или путем умножения отрезков прямых на принятый при построении масштаб по напряжению .

Раскроем значения напряжения в (3.28) и получим:

. (3.31)

Получили комплексное сопротивление всей цепи , применив метод преобразования цепей:

. (3.32)

Сопротивление Х - реактивное сопротивление цепи, разность последовательно соединенных индуктивного и емкостного сопротивлений. Определим полное сопротивление: и фазовый угол . Комплексное сопротивление в полярной форме записи:

. (3.33)

Возможные соотношения:

• - напряжение опережает по фазе ток (индуктивный сдвиг);

• - напряжение отстает по фазе от тока (емкостной сдвиг);

• - напряжение совпадает по фазе с током (режим резонанса).

Конечное выражение (3.31), закон Ома , позволяет вычислить комплексный ток

. (3.34)

Его мы задали в начале анализа, считая задачу решенной.

При использовании комплексного метода расчета цепей синусоидального тока векторная диаграмма не является непосредственным средством расчета, а может быть использована для наглядного контроля полученных результатов - соблюдения законов Кирхгофа и соотношения между токами и напряжениями на отдельных элементах цепи.