1.2.Векторное и комплексное изображения синусоидальных величин

Гармонические колебания можно представлять различными способами: функциями времени (временные диаграммы, см. рис. 3.3); вращающимися векторами (векторными диаграммами); комплексными числами; амплитудными и фазными спектрами. Тот или иной способ представления применяется в зависимости от характера решаемых задач.

Временное представление гармонических колебаний наглядно, однако его использование в задачах анализа цепей затруднительно, т.к. требует проведения громоздких тригонометрических преобразований. Более удобно векторное представление гармонических колебаний, при котором каждому колебанию ставится в соответствие вращающийся вектор определенной длины и заданной начальной фазы. Представление синусоидальных колебаний с помощью вращающихся векторов упрощает процедуру их суммирования.

Проекция вектора с модулем , вращающегося с круговой частотой w (рис. 3.3, а) на вертикальную ось, называемую в этом случае линией времени, равна мгновенному значению изображаемого тока i. Развертка по времени этой проекции дает график синусоиды (рис. 3.3, б). Начальное положение вектора на плоскости (t = 0) определяет начальная фаза .

При таком изображении двух синусоидальных колебаний одной частоты (рис. 3.3, в) учитывается их фазовый сдвиг. Относительное расположение вектора на плоскости - векторная диаграмма - не изменяется в течение периода, т.к. оба вектора вращаются с одинаковой скоростью. Задачу по суммированию двух токов можно свести к суммированию изображающих эти токи векторов (см. рис. 3.3, в). Этот способ отличается большей наглядностью. Векторные диаграммы обычно строят для действующих токов и напряжений и длину изображающих векторов берут равной действующим значениям токов и напряжений, а не их амплитуды. Суммарный вектор находят путем суммирования двух исходных по правилам сложения векторов.

Наиболее распространенными являются представления гармонических колебаний с помощью комплексных чисел. Эти представления лежат в основе символического метода расчета электрических цепей - метода комплексных амплитуд.

Для введения комплексного изображения синусоидальной величины напомним формулу Эйлера: , в которой для мнимой единицы использовано принятое в технических дисциплинах обозначение . Будем изображать синусоидальную величину комплексным числом , аргумент которого равен аргументу синуса, а модуль - амплитуде тока. Очевидно, что изображение введенной величины на комплексной плоскости (см. рис. 3.3, а) тождественно изображению синусоидального тока на векторной диаграмме с помощью вектора , вращающегося с частотой w. При определении взаимной ориентации векторов, гармонических колебаний одной частоты, всю необходимую информацию несет комплексная величина - комплексная амплитуда, равная комплексному изображению тока при t = 0.

Условная запись выполненного комплексного преобразования имеет вид:

мгновенное значение

значение

. (3.10)

Аналогично вводят комплексные амплитуды для напряжений и ЭДС:

. (3.11)

При расчетах обычно переходят от комплексных амплитуд к комплексным действующим значениям:

. (3.12)

Этим приемом мы уменьшаем длину векторов в раз при построении векторных диаграмм.

Комплексное действующее значение тока (различные формы записи):

алгебраическая

тригонометрическая

. (3.13)

Здесь и - алгебраические значения комплексного действующего значения, соответственно вещественное и мнимое - прямой переход при заданном модуле I и аргументе .

Для обратного перехода - нахождения комплексного действующего значения I и начальной фазы :

(3.14)

Для напряжений и ЭДС можно записать аналогичные соотношения.

Наряду с показательной формой записи широко распространена полярная - , которой в дальнейшем и будем пользоваться.

При расчете цепей синусоидального тока с использованием комплексных действующих изображений возникает необходимость в построении векторных диаграмм на плоскости комплексных чисел, при этом должны выполняться определенные условия и правила.

Рассмотрим построение векторной диаграммы для напряжений схемы (рис. 3.4), состоящей из источника синусоидальной ЭДС е и двух последовательно включенных двухполюсников «ab» и «bc». На схеме укажем условно положительные направления тока i и напряжений , , . Зададим потенциалы точек схемы , , , приняв потенциал , запишем напряжения , , .

От гармонических функций времени перейдем к их комплексным действующим значениям:

Изобразим на комплексной плоскости комплексные числа, соответствующие комплексным действующим значениям потенциалов , и (рис. 3.5, а). Точкам соответствуют векторы, начинающиеся в начале координат и оканчивающиеся в точках соответствующего потенциала. Изобразим напряжение , его вектор направлен от точки с более низким потенциалом b к точке с более высоким потенциалом а.

Пользуясь выше изложенным, построим все комплексы напряжений, при этом должен соблюдаться второй закон Кирхгофа , для нашей схемы (рис. 3.5, б). Как видно, каждая точка диаграммы соответствует одноименной точке схемы, такая векторная диаграмма для напряжений называется топографической векторной диаграммой. Для топографической диаграммы напряжений должны соблюдаться условия: каждой точке диаграммы соответствует комплексная потенциальная точка схемы; каждому напряжению схемы соответствует вектор, соединяющий точки векторной диаграммы; стрелка вектора напряжения направлена в сторону точки с «большим потенциалом», что соответствует первому подстрочному индексу у напряжения. Кроме того, должно выполняться правило стрелок - на схеме стрелка напряжения направлена от точек с высоким потенциалом к точкам с низким потенциалом; на диаграмме напряжений - стрелка к точке с высоким потенциалом, т.е. к точке, от которой идет ток у потребителя, если ток положителен.