1.10.Типовые примеры расчета линейных цепей синусоидального тока

В данном разделе приведены примеры расчета линейных цепей синусоидального тока в установившихся режимах. Дано решение каждого примера с подстановкой числовых значений и с получением конечного результата решения.

Пример 1. Построить кривые изменения напряжения и тока во времени, записать и изобразить на комплексной плоскости комплексные амплитуды, изображающие заданные синусоидальные функции:

.

Определить период, частоту, моменты начала положительных полуволн напряжения и тока, значения u и i при t = 0. Записать начальные фазы напряжения и тока в градусах. Чему равен фазовый сдвиг между напряжением и током в радианах и в градусах?

Решение. 1. Период колебаний синусоиды .

2. Частота колебаний .

3. Время начала положительной полуволны напряжения

.

4. Время начала положительной полуволны тока .

5. Значения для момента времени t = 0:

напряжения ; тока .

6. Начальные фазы в градусах .

7. Фазовый сдвиг: .

8. Комплексная амплитуда напряжения: .

9. Комплексная амплитуда тока: .

10. Изобразим синусоиды напряжения и тока (рис. 3.29, а), масштаб по времени - в секундах и специальных единицах .

11. Комплексные амплитуды изображены на комплексной плоскости (рис. 3.29, б).

Пример 2.Записать в полярной, показательной, тригонометрической, алгебраической формах выражения комплексных действующих значений напряжения и тока, мгновенные значения которых .

Решение. 1. Действующие значения напряжения и тока

.

2. Полярная форма записи: .

3. Показательная форма записи: .

4. Тригонометрическая и алгебраическая формы записи:

.

Пример 3.Приборы, подключенные к цепи (рис. 3.30), дали следующие показания: U = 65 B, I = 5 A, P = 300 Вт. Вычислить комплексные сопротивление и проводимости цепи для случаев: а)  > 0; б)  < 0.

Решение. 1. Определим модуль сопротивления (полное сопротивление):

.

2. Определим аргумент сопротивления

.

3. Искомые комплексные сопротивление и проводимость при  > 0:

,

.

4. То же при  < 0:

,

.

Пример 4. Комплексные напряжение и ток пассивного двухполюсника (рис. 3.31, а) равны: , . Вычислить комплексные сопротивление и проводимость и указать, каковы эквивалентные параметры двухполюсника, чему равен сдвиг фаз между напряжением и током? Определить активную и реактивную составляющие напряжения и тока, активную, реактивную, полную и комплексную мощности. Построить векторную диаграмму напряжений и токов.

Решение. 1. Запишем комплексные напряжение и ток в полярной форме и изобразим их на комплексной плоскости (рис. 3.31, б):

, здесь ;

, здесь .

Для построения примем масштабы: ,

2. Комплексное сопротивление определим по закону Ома

.

Следовательно, эквивалентными параметрами цепи являются резистивное R = 2,4 Ом и реактивное (индуктивное) сопротивления, соединенные последовательно.

3. Комплексная проводимость цепи

.

Эквивалентные параметры цепи: резистивная G = 0,15 См и реактивная (индуктивная) проводимости, соединенные параллельно. На рис. 3.32 приведены последовательная и параллельная схемы замещения исследуемого пассивного двухполюсника.

4. Угол сдвига фаз между напряжением и током

.

Данный угол является аргументом комплексного сопротивления.

5. Активные и реактивные составляющие напряжения и тока (см. рис. 3.31, б):

;

;

;

.

Отметим, что вещественные и мнимые составляющие комплексных напряжения и тока в общем случае отличаются от их активных и реактивных составляющих.

6. Активная, реактивная и полная мощности:

;

;

.

7. Комплексная мощность

Попутно отметим , модуль комплексной мощности - полная мощность; - аргумент комплексной мощности, фазовый угол, определяемый характером нагрузки двухполюсника.

Пример 5. В цепи (рис. 3.33, а) дано: U = 120 B; , , . Определить токи в ветвях схемы; активные, реактивные и комплексные мощности отдельных ветвей и всей цепи; составить баланс мощностей. Построить топографическую векторную диаграмму напряжений и совмещенную с ней векторную диаграмму токов.

Решение. 1. Заменим заданные двухполюсники их эквивалентными схемами замещения (рис. 3.33, б); зададим входное напряжение в комплексной форме (единственный комплексный вектор, который выбирается произвольно - угол может быть любым); отметим условно-положительные направления комплексных токов ветвей.

2. Задачу решим, используя эквивалентные преобразования для пассивных ветвей, приведем к одному сопротивлению:

2.1. Запишем в полярной форме комплексный сопротивления ветвей

; ; .

2.2. Определим сопротивление параллельного участка

2.3. Эквивалентное сопротивление цепи

.

3. Ток в неразветвленной части

.

4. Напряжение на параллельных ветвях

.

5. Токи в параллельных ветвях

;

.

6. Проверка по 1 закону Кирхгофа для узла «b»: ;

- тождество, закон выполняется.

7. Активные мощности и их баланс:

7.1. Для всей цепи .

7.2. Для ветвей схемы ,

, .

7.3. Баланс активных мощностей , .

8. Реактивные мощности и их баланс:

1. Для всей цепи .

2. Для ветвей ,

,

8.3. Баланс реактивных мощностей , .

9. Комплексные мощности ветвей:

;

;

.

10. Комплексная мощность всей цепи

.

10. Баланс комплексных мощностей: ,

.

Баланс вещественных частей комплексной мощности - баланс активных мощностей, мнимых - баланс реактивных мощностей.

12. Построим топографическую векторную диаграмму напряжений и построим векторную диаграмму токов (рис. 3.34).

12.1. Напряжение в неразветвленной части

.

12.2. Напряжение по контуру

12.3. Напряжение по контуру

.

12.4. Строим комплексные векторы токов . На диаграмме выполняется первый закон Кирхгофа .

12.5. Основной вектор приложенного напряжения направлен по вещественной оси, т.к. .

12.6. На векторной диаграмме выполняется второй закон Кирхгофа

.

12.7. На диаграмме по двум контурам построены напряжения на каждом элементе схемы.

Пример 6. В цепи (рис. 3.35) дано: , , , . Положительные направления ЭДС на схеме показаны стрелками. Определить токи в ветвях схемы методами: а) контурных токов; б) узловых потенциалов; в) методом эквивалентного источника ЭДС определить ток в ветви . Проверить баланс активных мощностей.

Решение.1. Укажем на схеме условно-положительные направления токов ветвей , и .

2. Расчет по методу контурных токов:

2.1. Выбираем направления контурных токов (см. рис. 3.35).

2.2. Система уравнений по методу контурных токов

.

2.3. Контурные сопротивления

;

;

.

2.4. Контурные ЭДС , .

2.5. Подставим числовые значения в выражения (1) и (2):

; .

2.6. Решая эту систему уравнений, определим контурные токи

.

2.7. Токи в ветвях схемы

.

3. Расчет по методу узловых потенциалов:

3.1. В схеме два узла, за опорный принят узел второй , значит одно уравнение

.

3.2. Комплексная узловая проводимость

3.3. Комплексный узловой ток

3.4. Комплексный узловой потенциал для точки «1»

.

3.5. Комплексные токи в ветвях

4. Расчет по методу эквивалентного источника ЭДС

4.1. Определяем значение ЭДС (рис. 3.36, а): разорвана ветвь «2» (режим холостого хода для этой ветви), ток , напряжение

4.2. Определим сопротивление эквивалентного генератора (рис. 3.36, б): закорочен источник определим

4.3. Расчетная схема (рис. 3.37) и уравнение для расчета тока

Истинное направление тока противоположно выбранному и указано пунктирной стрелкой

Пример 7. Цепь (рис. 3.38) находится в состоянии резонанса. Мощность, потребляемая цепью P = 80 Вт, I = 4 A, (по показаниям электроизмерительных приборов). Определить:

1. Параметры элементов схемы R, , .

2. Напряжение на входе U.

3. Построить векторную диаграмму.

4. Записать мгновенные значения токов.

5. Записать условие резонанса.

Решение. 1. Определение параметров и напряжения.

1.1. Мощность расходуемую в резисторе R можно записать: или .

1.2. Режим резонанса токов (параллельное соединение и ) в неразветвленной части , , .

1.3. Напряжение на резисторе

1.4. Напряжение на индуктивности .

1.5. Индуктивное сопротивление схемы .

2. Для дальнейших расчетов перейдем к комплексной форме записи:

2.1. Сопротивление первой ветви .

2.2. Задаемся напряжением, направив его по вещественной оси .

2.3. Ток в неразветвленной части .

2.4. Ток в первой ветви .

3. По первому закону Кирхгофа определим ток во второй ветви

.

4. Комплексное сопротивление ветви «2»

, значит .

5. Мгновенные значения для токов: .

6. Построим векторную диаграмму (рис. 3.39). Масштабы: , .

7. Условие резонанса токов

;

; .

Условие резонанса - .

Проверка: ,

,

(резонанс токов).