2.5.Применение вычислительной техники к расчету электрических цепей в векторно-матричной форме

Векторно-матричная форма позволяет предельно формализовать расчет электрической цепи. Расчет сводится к выполнению стандартных вычислительных процедур и определенных действий над матрицами.

Алгоритм расчета включает: ввод исходных данных - сведения об активных и пассивных элементах цепи, о конфигурации цепи; вычисление исходных векторов и матриц для основного уравнения; решение основного уравнения; определение токов ветвей. Составлена таблица для трех методов расчета токов ветвей - контурных токов, узловых потенциалов и наложения (табл. 2.1).

Таблица 2.1.

Метод расчета	Контурных токов	Узловых потенциалов	Наложения
Данные о цепи
Исходные векторы и матрицы			,
Основное уравнение	опред.	опред.	опред.
Токи в ветвях

2.6.Эквивалентные преобразования цепей

Метод преобразования цепей основан на последовательном упрощении структуры цепи путем сокращения числа ее узлов и контуров. Преобразование называется эквивалентным, если выполняется условие неизменности токов и напряжений ветвей в тех частях схемы, которые не затронуты преобразованием, т.е. режим остальной части цепи не изменяется.

Преобразование пассивных ветвей. Простейшие преобразования пассивных ветвей включают замену последовательно соединенных ветвей с сопротивлениями одной ветвью с эквивалентным сопротивлением и параллельных ветвей с проводимостями эквивалентной ветвью с проводимостью . К более сложным относятся преобразования звезды (рис. 2.3, а) в эквивалентный треугольник (рис. 2.3, б) и наоборот. На рисунке указаны напряжения , и , токи , и - одинаковые для обеих схем. Преобразования определяются формулами для сопротивлений

(2.21)

или тождественными формулами для проводимости

. (2.22)

Соотношения для остальных параметров аналогичны приведенным и получаются посредством круговой перестановки индексов a, b, c.

В результате последовательного применения преобразований структура цепи упрощается и цепь приводится к простейшему виду, содержащему лишь последовательное или параллельное соединение элементов.

Преобразование активных ветвей. При преобразовании активных ветвей с источниками ЭДС и тока используют взаимное преобразование этих источников, а также перенос идеальных источников ЭДС через узел.

Реальные источники энергии отличаются от идеальных тем, что напряжение на их зажимах и ток зависят друг от друга, т.е. зависят от нагрузки источника. Простейший вариант схемы замещения источника, учитывающий это, включает идеальный источник ЭДС Е и его внутреннее сопротивление (рис. 2.4, а). Внешняя характеристика - зависимость - такого источника описывается уравнением .

Та же зависимость может быть смоделирована идеальным источником тока J и внутренней проводимостью (рис. 2.4, б), внешняя характеристика которого выражается соотношением . Сопоставление обеих внешних характеристик показывает, что обе схемы замещения источника эквивалентны друг другу при выполнении следующих условий:

. (2.23)

Эти условия позволяют осуществить замену идеального источника ЭДС Е и сопротивления (рис. 2.4, а) эквивалентным соединением идеального источника тока и того же сопротивления (рис. 2.4, б). Возможен также и обратный переход от соединения элементов J и к эквивалентным Е и .

Идеальные источники ЭДС, обладающие нулевым внутренним сопротивлением, и источники тока с нулевой внутренней проводимостью (или бесконечным внутренним сопротивлением) не могут быть эквивалентно преобразованы друг в друга.

Ветви с идеальными источниками ЭДС могут быть преобразованы путем переноса ЭДС за узел.

У идеальных источников ЭДС (рис. 2.5, а) нет общего узла, ставится задача о переносе одного из идеальных источников (например, ) через узел 3 и включении его в резистивные ветви и (рис. 2.5, б). Действительно, обе цепи, изображенные на рис. 2.5, аб, эквивалентны друг другу, т.к. при переносе ЭДС через узел для преобразованной цепи сохраняются все соотношения, вытекающие из второго закона Кирхгофа. После выполнения преобразования для объединенного узла 23 возникает коротко замкнутый путь для тока, что дает возможность исследовать цепь по методу узловых потенциалов, это приводит к сокращению числа искомых узловых потенциалов. Последовательно включенные источники ЭДС алгебраически суммируются: , параллельно включенные источники тока могут быть заменены эквивалентным .

Метод эквивалентного источника. Принцип эквивалентного источника позволяет упростить задачу частного анализа цепи, когда в ходе расчета требуется определить токи и напряжения на отдельных ее участках. Согласно этому принципу двухполюсную часть цепи А на рис. 2.6, а можно заменить эквивалентным источником ЭДС (рис. 2.6, б) или тока (рис. 2.6, в).

Согласно сформулированному принципу эквивалентность источника и двухполюсника А должна обеспечиваться при любых значениях тока или напряжения на зажимах . Поэтому при нахождении параметров эквивалентного источника можно выбрать такие режимы, при которых эти величины определить наиболее просто. Рассмотрим их.

1. При (холостой ход) напряжение на зажимах источника ЭДС , поэтому значение можно найти, размыкая в анализируемой цепи зажимы двухполюсника ab и определяя напряжение на этих разомкнутых зажимах (рис. 2.7, а). Это можно осуществить как расчетным путем, так и экспериментальным.

2. При (режим короткого замыкания) ток эквивалентного источника тока (рис. 2.7, б). Таким образом, для определения следует закоротить зажимы преобразуемого двухполюсника ab и определить ток, протекающий в закороченной ветви.

3. 

   Для нахождения внутреннего сопротивления из двухполюсника А исключают все независимые источники ЭДС ( , их закорачивают) и источники тока ( , их размыкают) и в оставшейся части двухполюсника А определяют входное сопротивление относительно зажимов ab (рис. 2.7, в), представляющее собой внутреннее сопротивление эквивалентного источника: .

Для определения двух независимых параметров эквивалентного источника ( или ) можно использовать любые два из рассмотренных способов. Установленная связь показывает их тождественность.

Метод эквивалентного источника, несмотря на решение двух вспомогательных задач по определению его параметров, широко используется при расчете цепи, часть элементов которой имеет фиксированные параметры, а параметры другой части варьируются для нахождения режима работы цепи, удовлетворяющего определенным критериям. В этом случае замена фиксированной части цепи эквивалентным двухполюсником упрощает расчеты.