2.3.Метод узловых потенциалов

Основан на первом законе Кирхгофа и уменьшает число уравнений до , равному числу узлов без одного. Вводят узловые потенциалы для независимых узлов. Исключенный узел называется опорным, его потенциал принимают равным нулю.

Цепь, имеющая граф рис. 2.2, содержит четыре узла У1, У2, У3 и У4, из которых У1, У2, У3 - независимые узлы, У4 - опорный узел ( , его можно заземлить). Введем новые переменные потенциалы независимых узлов , и соответственно.

Сформируем вектор узловых потенциалов . Напряжение любой ветви через потенциалы . Здесь - потенциал начальной точки, а - конечной точки ветви по направлению тока ветви. Вектор напряжения ветвей . Связь между введенными векторами:

. (2.13)

Преобразуем уравнение (2.2) относительного резистивного напряжения ветви для каждой ветви. В векторной форме для всех ветвей:

, (2.14)

где - вектор резистивных напряжений ветвей; - вектор ЭДС ветвей, они сформированы в методе контурных токов.

Перейдем от сопротивлений ветвей к проводимостям резисторов ветвей . Определим по закону Ома ток каждой ветви .

В векторной форме записи:

, (2.15)

где - вектор токов ветвей; - диагональная матрица проводимостей ветвей.

Воспользуемся первым законом Кирхгофа , с учетом (2.15) и (2.14) получим ; раскроем скобки и произведем замену по (2.13):

.

Вводим обозначения - матрица узловых проводимостей; - алгебраический вектор узловых токов.

Уравнение узловых потенциалов в векторно-матричной форме

. (2.16)

Свойства матрицы узловых проводимостей - квадратная размером , для нашего примера

- собственные проводимости ветвей, равные арифметической сумме проводимостей ветвей, примыкающих к данному узлу; - взаимная узловая проводимость, равная проводимости ветви, соединяющей два узла, принимается со знаком «».

Алгебраический вектор узловых токов , каждый узловой ток - алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узел, знак слагаемых токов каждой ветви определяется числами матрицы . Знак «+» - ЭДС направлена от узла, знак «» - к узлу.

По уравнению (2.16) рассчитывают потенциалы узлов. Расчет токов ветвей по (2.15) с учетом (2.14) и (2.13):

. (2.17)

2.4.Принцип наложения. Метод наложения. Принцип взаимности

Принцип наложения формулируется следующим образом: ток (напряжение) на участке цепи, в которой действуют несколько независимых источников ЭДС и тока, равен алгебраической сумме токов (напряжений), вызываемых каждым из этих источников в отдельности.

Принцип базируется на линейности уравнений цепи и позволяет свести задачу анализа цепи к рассмотрению совокупности частных режимов, в каждом из которых учитывается один независимый источник. Применение принципа наложения приводит к анализу совокупности режимов при этом источники ЭДС закорачиваются, а источники тока исключаются, кроме одного независимого источника схемы.

Расчет по методу наложения основан на методе контурных токов.

Воспользуемся выражениями, введенными в п. 2.2, а именно (2.6), (2.11) и контурными проводимостями:

.

Здесь - матрица входных и взаимных проводимостей.

Следовательно, токи ветвей однородно линейно выражаются через ЭДС ветвей:

. (2.18)

Свойства матрицы : получена из симметричной матрицы , также симметричной ( ). Запишем в предположении для трех:

. (2.19)

Запишем в развернутом виде по (2.18) ток первой ветви с учетом (2.19):

.

Физический смысл каждого частичного тока:

Ток любой ветви - алгебраическая сумма токов этой ветви от действия каждой ЭДС в отдельности. В этом смысл метода наложения.

Отметим, что знаки при суммировании токов частных режимов учитывают принятое направление токов ветвей, которое может быть различным в отдельных режимах.

Принцип взаимности определяет связи и между токами и напряжениями в двух ветвях пассивной цепи при действии в них источников различного характера, вытекает из метода контурных токов и основан на равенстве внедиагональных элементов матрицы ( ). Выполнение этого условия приводит к следующему свойству электрической цепи: пусть , тогда ; когда , тогда . Так как , следовательно:

. (2.20)

Единичная ЭДС первой ветви обуславливает такой же ток второй ветви, как единичная ЭДС второй ветви ток в первой ветви.