2.Линейные электрические цепи постоянного тока. Линейные магнитные цепи

2.1.Анализ цепей постоянного тока непосредственным применением законов Кирхгофа, Ома

Непосредственное применение законов Кирхгофа и Ома путем составления уравнений для узлов и контуров включает систему из n уравнений соответственно числу ветвей схемы, для определения токов при известных и .

Уравнения (1.2) и (1.3) для цепи постоянного тока имеют следующий вид:

. (2.1)

В этих уравнениях вектор тока ветвей и вектор напряжения ветвей .

Условимся о содержании ветви рис. 2.1, а. Она может включать и пассивные элементы , и активные элементы . Согласно рис. 2.1, б, напряжение ветви:

. (2.2)

Здесь напряжение на резисторе (по закону Ома).

Уравнение по второму закону Кирхгофа, с учетом (2.2), в векторно-матричной форме:

, (2.3)

где - вектор резистивных напряжений ветвей;

- вектор ЭДС ветвей.

Для линейное цепи в векторной форме закон Ома:

, (2.4)

здесь - диагональная матрица сопротивлений ветвей.

Подставим (2.4) в выражение (2.3) и получим систему для составления уравнений по второму закону Кирхгофа для контуров:

. (2.5)

2.2.Метод контурных токов

Метод контурных токов основан на втором законе Кирхгофа и уменьшает число уравнений до , равному числу независимых контуров. Вводят контурные токи - новые переменные, равные токам ветвей связей графа. Для цепи, содержащей три контура, имеющей граф рис. 2.2, поясним составление уравнений по методу контурных токов. Дерево графа ветви , и ; связи графа ветви , и . Независимые контуры К1, К2 и К3, в них протекают контурные токи , и . Запишем векторы токов ветвей и контурных токов .

Выражение токов ветвей через контурные токи:

. (2.6)

Контурное резистивное напряжение - алгебраическая сумма резистивных напряжений по контуру, со знаком «+» - совпадающие с направлением обхода, иначе - «». Вектор контурных резистивных напряжений , вектор резистивных напряжений ветвей . Связь между этими векторами:

. (2.7)

По закону Ома, с учетом

, (2.8)

Подставим в (2.7) выражение (2.8) с учетом (2.1) и получим:

,

здесь - матрица контурных сопротивлений,

. (2.9)

Уравнение связи контурных резистивных напряжений и контурных токов:

. (2.10)

Свойства матрицы контурных сопротивлений - квадратная, размером , для нашего примера

,

, собственные контурные сопротивления, равные арифметической сумме сопротивлений ветвей, входящих в контур; - взаимное контурное сопротивление, равное сопротивлению ветви, по которой одновременно протекают контурные токи соседних контуров, величина алгебраическая, знак определяется направлением контурных токов: «+» - контурные токи совпадают, с противном случае - «».

Матрица обратима - , получена матрица контурных проводимостей.

Контурная ЭДС равна алгебраической сумме ЭДС по контуру; совпадающие с обходом контура - со знаком «+», встречно - «». Вектор контурных ЭДС , вектор ЭДС ветвей . Между этими векторами существует связь:

. (2.11)

Векторно-матричное уравнение цепи по методу контурных токов может быть получено на основании второго закона Кирхгофа . С учетом запишем:

Значит,

или . (2.12)

По уравнению (2.12) рассчитывают контурные токи и по (2.6) определяют токи ветвей.