1.5.Матричное описание топологических свойств цепи

Для математического описания способа соединения ветвей цепи и принадлежности их к контурам используют матрицы соединений (узловые) и контуров. Они представляют собой прямоугольные матрицы, столбцы которых отвечают ветвям цепи, а строки - узлам, контурам соответственно.

Матрица соединений показывает, к какому узлу присоединены ветви направленного графа цепи. Если элемент матрицы , то это означает, что m-я ветвь присоединена к jму узлу и направлена от него; имеет для ветви m, присоединенной к jму узлу и направленной к нему; имеет для mой ветви, не присоединенной к узлу j.

Для направленного графа мостовой цепи (рис. 1.4, в) матрица соединений имеет независимых узлов, поэтому один из узлов, к примеру узел У4, опускают. Матрица имеет размер . Здесь n - общее число ветвей схемы (соответственно столбцов матрицы). Для нашего примера:

Матрица контуров содержит информацию о том, в какие контуры цепи входят ветви. Столбцы матрицы - ветви схемы, строки - контуры графа. Система контуров называется независимой, если каждый следующий контур в этой системе содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие контуры.

Число ветвей для дерева графа , число ветвей связей . При формировании контуров в каждый следующий контур должна входить новая ветвь связи, направление обхода контура определяется направлением ветви связи. В этом случае получим систему независимых контуров. Для матрицы элементы записывают следующим образом:

Например, для рис. 1.4, в, контуры К1, К2, К3 образуют независимую систему и матрица записывается в виде:

и имеет размер .

Итак, матрицы и однозначно определяют конфигурацию цепи.

1.6.Законы Кирхгофа в векторно-матричной форме. Баланс мощностей

Структура электрической цепи накладывает ограничения на распределение токов и напряжений на отдельных ее элементах. При расчете цепи информация о структуре отражается в матричных уравнениях, выражающих первый и второй законы Кирхгофа, которые определяют:

1. баланс токов в узлах цепи - ;

2. баланс напряжений в контурах - .

Входящие в эти уравнения величины суммируются алгебраически - токи ветвей, направленные от узла, положительны, а к узлу - отрицательны. Также и напряжения, направления отсчета которых совпадают с направлением обхода контура, берутся со знаком «+», а противоположные ему со знаком «».

Второй закон Кирхгофа можно записать с заменой напряжений на источниках значениями ЭДС этих источников:

.

Такая формулировка второго закона определяет равенство алгебраической суммы падений напряжения на пассивных элементах контура алгебраической сумме ЭДС источников, действующих в этом контуре. При этом со знаком «+» в обеих частях равенства учитываются величины, совпадающие с направлением обхода контура.

Для графа схемы рис. 1.4, б уравнения баланса токов составим для узлов У1, У2 и У3, уравнения баланса напряжений для контуров К1, К2 и К3:

Введенные матрицы соединений и контуров позволяют записать совокупность независимых уравнений Кирхгофа для данной цепи. Введем вектор токов ветвей для всей цепи, элементы которого представляют токи ветвей, и вектор напряжений ветвей :

(1.1)

Тогда система независимых уравнений первого закона Кирхгофа для узлов цепи в форме матричного произведения:

. (1.2)

Аналогично второй закон Кирхгофа приводит к матричному уравнению:

. (1.3)

Или при выделении ЭДС источников:

, (1.4)

где - вектор ЭДС ветвей цепи; - вектор напряжений пассивных элементов ветвей.

В сложной цепи со многими ветвями их напряжения и токи связаны друг с другом рядом уравнений, которые составляются по законам Кирхгофа. Однако для сколь угодно сложной цепи с любым количеством ветвей можно составить лишь одно уравнение, которое связывает все напряжения и токи ветвей. Это уравнение выражает закон сохранения энергии для электрической цепи. Согласно этому закону в любой момент времени сумма мгновенных мощностей всех n ветвей цепи равна нулю:

, (1.5)

где , - соответственно напряжения и токи ветвей.

При разделении элементов ветвей на пассивные и активные, можно записать:

(1.6)

Сумма мгновенных мощностей на всех пассивных элементах цепи в любой момент времени равна сумме мгновенных мощностей, отдаваемых идеальными источниками ЭДС.

В векторной форме закон сохранения энергии:

. (1.7)

Алгебраическая сумма мощностей ветвей цепи равна нулю. Уравнение баланса мощностей.