2.8.Основные теоретические положения и соотношения. Методы анализа линейных цепей постоянного тока

Элементы электрической цепи. Пассивный линейный элемент - резистор, имеющий электрическое сопротивление R (рис. 2.10, а). Ток I, напряжение U и электрическое сопротивление связаны законом Ома:

U = RI (2.27)

Величина, обратная сопротивлению, называется электрической проводимостью:

G = 1/R (2.28)

Активные линейные элементы - источники электромагнитной энергии. Рассмотрим независимые источники - идеальный и реальный.

Идеальный источник электродвижущей силы (ЭДС) характеризуется напряжением U, которое не зависит от тока I и определяется электродвижущей силой Е (обозначения условно-положительных направлений напряжения и тока показаны на рис. 2.10, б). Внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС равно нулю

U = E. (2.29)

Идеальный источник тока. Ток I источника тока не зависит от напряжения U (внутренняя проводимость источника тока равна нулю, сопротивление источника тока бесконечно велико). Обозначения положительных направлений тока и напряжения показаны на рис. 2.10, г.

Реальный источник ЭДС имеет внутреннее сопротивление , на рис. 2.10, в он изображен в виде последовательной схемы, содержащей E и .

Источник тока реальный (с внутренней проводимостью ) может быть изображен в виде параллельной схемы, содержащей источник тока J, численно равный току короткого замыкания источника тока и проводимости (рис. 2.10, д).

Переход от схемы источника ЭДС к эквивалентной схеме источника тока осуществляется по формулам

(2.30)

Закон Ома. Этот закон применяется для ветви или для одноконтурной замкнутой цепи (не имеющей разветвлений). При написании закона Ома следует прежде всего выбрать произвольно некоторое условно-положительное направление тока.

Для ветви, состоящей только из резисторов и не содержащей ЭДС (например, для ветви рис. 2.11) при положительном направлении тока от точки m к точке n

, (2.31)

где - потенциалы точек m и n; - разность потенциалов или напряжение между точками m и n; - общее сопротивление ветви между точками m и n.

Для ветви цепи, содержащей ЭДС и резисторы (например, для ветви acb, рис. 2.11)

, (2.32)

где на концах ветви abc, отсчитываемое по выбранному положительному направлению тока; - алгебраическая сумма ЭДС, находящихся в этой ветви - арифметическая сумма ее сопротивлений.

Со знаком «+» берут те ЭДС, направления которых совпадают с выбранным положительным направлением тока, а со знаком «» - ЭДС с противоположными направлениями.

Для замкнутой одноконтурной цепи

, (2.33)

где - алгебраическая сумма ЭДС контура; - арифметическая сумма сопротивлений контура.

Законы Кирхгофа. Для написания законов Кирхгофа необходимо задаться условно-положительными направлениями токов каждой ветви.

Первый закон Кирхгофа - алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю

. (2.34)

Токи, направленные от узла, условно принимаются положительными, а направленные к нему - отрицательными.

Второй закон Кирхгофа - алгебраическая сумма ЭДС замкнутого контура равна алгебраической сумме напряжений на резисторах в нем

. (2.35)

Направления обхода контура выбирают произвольно. При записи левой части равенства ЭДС, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода контура (независимо от направления тока, протекающего через них), принимаются положительными, а ЭДС, направленные против выбранного направления обхода - отрицательными. При записи правой части равенства со знаком «+» берутся напряжения на тех резисторах, в которых выбранное положительное направление тока совпадает с направлением обхода (независимо от направления ЭДС в этих ветвях), а со знаком «» - напряжения на тех резисторах, в которых положительное направление тока противоположно направлению обхода. Законы Кирхгофа выполняются в любой момент времени.

Методы расчета сложных цепей постоянного тока. Любая сложная цепь состоит из узлов k и ветвей n.

Применение законов Кирхгофа. Обычно в цепи известны все источники и все сопротивления. Число взаимонезависимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа

. (2.36)

Число взаимонезависимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа

. (2.37)

Общее число уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов

. (2.38)

Метод контурных токов. Этот метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа . Он основан на том, что ток любой ветви цепи можно представить в виде алгебраической суммы контурных токов, протекающих по этой ветви. При пользовании этим методом выбирают и обозначают контурные токи (по любой ветви должен проходить хотя бы один выбранный ток). Уравнения по второму закону Кирхгофа для контурных токов в развернутом виде:

(2.39)

где - собственное сопротивление контура (сумма всех сопротивлений, входящих в контур k); - общее сопротивление для контуров k и j, причем , если контурные токи в этой ветви совпадают, в противном случае ; - алгебраическая сумма ЭДС ветвей, входящих в рассматриваемый контур.

Метод узловых потенциалов. Этот метод позволяет уменьшить количество уравнений системы . Сущность метода заключается в том, что вначале определяют потенциалы всех узлов схемы (потенциал одного из узлов полагают равным нулю - этот узел называется опорным). Токи ветвей находят по закону Ома, используя формулу (2.32).

(2.40)

Здесь (всегда)- собственные узловые проводимости, сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу k; (всегда) - межузловые проводимости, сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел k с узлом j; - узловой ток, алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, примыкающих к узлу k на их проводимости, при этом со знаком «» берутся те ЭДС, которые действуют в направлении узла k и со знаком «+» в направлении от узла k.

Метод наложения. Основан на принципе наложения, справедливом для линейных электрических цепей. Ток в любой ветви можно рассчитывать как алгебраическую сумму токов, вызываемых в ней ЭДС каждого источника ЭДС отдельно. При этом надо иметь в виду, что когда ведется расчет токов, вызываемых каким-либо одним источником ЭДС, тогда остальные источники ЭДС в схеме заменяются короткозамкнутыми участками.

Метод эквивалентного источника (метод активного двухполюсника, или метод холостого хода и короткого замыкания). Применение метода целесооб­разно для определения тока в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи.

Активный двухполюсник А (рис. 2.12, а) по отношению к ветви с сопротивлением R заменить эквивалентным источником с ЭДС и внутренним сопротивлением (рис. 2.12, г). Для определения ЭДС размыкают зажимы ab (рис. 2.12, б) и определяют на холостом ходу ; для нахождения сопротивления закорачивают все источники ЭДС в активном двухполюснике и он становится пассивным двухполюсником П (рис. 2.12, в) и определяют входное сопротивление по отношению к зажимам ab , т.е. внутреннее сопротивление эквивалентного источника. Ток в искомой ветви схемы (рис. 2.12, г), имеющей сопротивление R, определяют по закону Ома

. (2.41)

Баланс мощностей. Для любой замкнутой электрической цепи сумма мощностей , развиваемой источниками электрической энергии, равна сумме мощностей , расходуемых в приемниках энергии: или

. (2.42)

Здесь - алгебраическая сумма, положительные слагаемые при совпадении направления действия ЭДС с направлением тока; - алгебраическая сумма мощностей источников тока; - арифметическая сумма тепловых потерь на резисторах.