Вычисление электрических полей с помощью теоремы Гаусса

Теорема Гаусса позволяет легко определять электрическое поле заряженных тел, обладающих симметрией. Соображения симметрии довольно часто и успешно используются в физике. Приведем несколько примеров такого использования.

Поле плоской бесконечной равномерно заряженной поверхности

Р ассмотрим плоскую тонкую бесконечную равномерно заряженную поверхность. Пусть поверхностная плотность заряда поверхности равна σ. Так как поверхность бесконечна и никакого выделенного направления нет, то соображения симметрии подсказывают, что вектор напряженности электрического поля такой заряженной поверхности может быть направлен только перпендикулярно к поверхности. Причем на одинаковом расстоянии от поверхности напряженность с обеих сторон от поверхности должна быть одинаковой. Пусть для определенности поверхность заряжена положительно. Тогда вектор напряженности во всех точках направлен перпендикулярно поверхности от нее. Представим теперь замкнутую поверхность в виде широкого невысокого цилиндра. Пусть торцевые поверхности цилиндра площадью S расположены по обе стороны от заряженной поверхности и на одинаковом расстоянии от нее, а боковая поверхность цилиндра перпендикулярна заряженной поверхности. Полный поток вектора напряженности через выбранную замкнутую поверхность равен

Где Ф_но и Ф_во – поток через нижнее и верхнее основания цилиндра, а Ф_б – поток через боковую поверхность. Но поток через боковую поверхность равен нулю, так как боковая поверхность параллельна вектору напряженности и значит . А потоки через нижнее и верхнее основания одинаковы и равны

Где Е – напряженность электрического поля в точках верхнего и нижнего оснований (для оснований цилиндра ). Значит, полный поток через поверхность выбранного цилиндра равен . Но, согласно теореме Гаусса, этот поток равен , где - заряд находящийся внутри выбранного цилиндра. Отсюда получаем выражение для напряженности электрического поля плоской бесконечной равномерно заряженной поверхности:

Заметим, что величина напряженности не зависит от расстояния до поверхности. Значит, электрическое поле такой поверхности является однородным.

Поле двух параллельных разноименно заряженных поверхностей

П усть имеются две плоские бесконечные параллельные поверхности. Пусть поверхности равномерно заряжены зарядами с поверхностной плотностью +σ и –σ. Каждая из поверхностей создает электрическое поле с напряженностью

При этом вектор напряженности верхней пластины направлен от нее, а нижней пластины к ней (см. рис.). Согласно принципу суперпозиции суммарная напряженность электрического поля во всех точках будет равна векторной сумме напряженностей, создаваемых этими двумя поверхностями. Во всех точках, находящихся между поверхностями, вектора напряженностей, создаваемые этими двумя поверхностями направлены в одну сторону, а значит, их модули складываются и общая напряженность электрического поля между поверхностями равна

Во всех точках, находящихся вне объема между поверхностями (сверху и снизу от них) вектора напряженности, создаваемые поверхностями, направлены противоположно, а значит, их модули вычитаются. Следовательно, снаружи от поверхностей напряженность электрического поля во всех точках равна нулю.

Поле бесконечной равномерно заряженной цилиндрической поверхности

П усть имеется цилиндрическая поверхность радиусом R равномерно заряженная с поверхностной плотностью заряда σ. Из соображений симметрии ясно, что вектор напряженности электрического поля, созданного такой поверхностью, в любой точке может быть направлен только вдоль прямой, проходящей через ось цилиндра и направленной перпендикулярно этой оси. Кроме того, величина напряженности может зависеть только от расстояния до оси. Представим мысленно замкнутую поверхность в виде цилиндра радиусом r и высотой h. Пусть ось цилиндра совпадает с осью заряженной поверхности. Рассмотрим сначала случай r > R. Полный поток вектора напряженности через выбранную замкнутую поверхность равен

Где Ф_но и Ф_во – поток через нижнее и верхнее основания цилиндра, а Ф_б – поток через боковую поверхность. Но поток через основания равен нулю, так как они параллельны вектору напряженности и значит . А поток через боковую поверхность равен

По теореме Гаусса поток равен

Отсюда получаем зависимость напряженности электрического поля от расстояния до оси бесконечной равномерно заряженной цилиндрической поверхности снаружи от нее:

Если r < R, то заряд, содержащийся внутри выбранной поверхности, окажется равен нулю, а значит, и напряженность электрического поля внутри бесконечной цилиндрической равномерно заряженной поверхности во всех точках равна нулю.

Поле равномерно заряженной сферической поверхности

Пусть имеется сферическая поверхность радиусом R равномерно заряженная с поверхностной плотностью заряда σ. Из соображений симметрии следует, что напряженность электрического поля такой поверхности может быть направлена только вдоль радиальных линий, выходящих из центра сферы. Также понятно, что величина напряженности может зависеть только от расстояния до центра сферы. Представим мысленно замкнутую поверхность в виде сферы радиусом r и с центром, совпадающим с центром заряженной поверхности. Рассмотрим сначала случай r > R. Поток вектора напряженности через выбранную поверхность равен

По теореме Гаусса этот поток равен

Отсюда получаем, что напряженность электрического поля снаружи от равномерно заряженной сферической поверхности равна

Если r < R, то заряд, содержащийся внутри выбранной поверхности, окажется равен нулю, а значит, и напряженность электрического поля внутри сферической равномерно заряженной поверхности во всех точках равна нулю.

Если полный заряд сферической поверхности равен q, то поверхностная плотность заряда равна

Получается, что снаружи напряженность равна

Это выражение совпадает с формулой напряженности от точечного заряда. В итоге получаем, что электрическое поле, создаваемое равномерно заряженной сферической поверхностью снаружи от нее полностью совпадает с электрическим полем точечного заряда, равного полному заряду поверхности и находящемуся в ее центре, а внутри напряженность электрического поля во всех точках равна нулю.